Теорема. Частное решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение:

$$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\dots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0\text{\hspace{1em}(1)}$$

Как было сказано, общим решением ЛОДУ является функция вида
$C_1{y}_1+C_2{y}_2+\dots +C_n{y}_n$, где $C_i\in \mathbf{R}$, а $y_i$ — линейно независимые частные решения рассматриваемого ЛОДУ $(i=1,\dots ,n)$.

Теорема

Пусть $k\in \mathbf{R}$.
$y=e^{kx}$ — частное решение уравнения (1) тогда и только тогда, когда $k$ является корнем характеристического уравнения соответствующего линейного дифференциального оператора, то есть

$$a_n{k}^n+\dots +a_{1}k+a_0=0.$$

Доказательство

$$\begin{array}{rl}& a_n(e^{kx}{)}^{(n)}+\dots +a_1(e^{kx}{)}^{\prime }+a_0{e}^{kx}=0⟺\\ & a_n{k}^n{e}^{kx}+\dots +a_{1}k{e}^{kx}+a_0{e}^{kx}=0⟺\\ & e^{kx}(a_n{k}^n+\dots +a_{1}k+a_0)=0⟺\\ & a_n{k}^n+\dots +a_{1}k+a_0=0.\end{array}$$

Пример

Найти $\mathrm{Ker}{L}_2$¹, где

$$L_2(y)=y^{\prime \prime \prime }-5y^{\prime \prime }+6y^{\prime }.$$

Составим характеристическое уравнение:

$${\lambda }^3-5{\lambda }^2+6\lambda =0.$$

Его корни — числа $0$, $2$ и $3$. По теореме частными решениями соответствующего ДУ будут функции

$$y_1=e^{0x}=1,y_2=e^{2x},y_3=e^{3x}.$$

Они линейно независимы, следовательно,

$$\mathrm{Ker}{L}_2=⟨1,e^{2x},e^{3x}⟩=\{C_1+C_2{e}^{2x}+C_3{e}^{3x}|C_1,C_2,C_3\in \mathbf{R}\}.$$

линейныйдифференциальныйоператор

Footnotes

1. $\mathrm{Ker}{L}_2$ - Ядро линейного дифференциального оператора ↩