Теорема. Инвариантность ортогонального дополнения собственного вектора

Теорема

Пусть $B$ — Унитарный оператор $n$-мерного пространства $L$, $u$ — собственный вектор $B$;
$L_u^{\prime }=\{x\in L\mid (x,u)=0\}$
— его Ортогональное дополнение. Тогда $L_u^{\prime }$ инвариантно относительно $B$.

Доказательство

Пусть $B(u)=\lambda u$ и $|\lambda |=1$ (см. теорему о модуле собственного значения).
Для любого $x\in L_u^{\prime }$ имеем $(x,u)=0$. ¹ Тогда
$0=(x,u)=(B(x),B(u))=(B(x),\lambda u)=\bar{\lambda }(B(x),u),$
откуда $(B(x),u)=0$. Следовательно, $B(x)\in L_u^{\prime }$, то есть $L_u^{\prime }$ инвариантно относительно $B$.
Теорема доказана.

линейныйоператор

Footnotes

1. Скалярное произведение ↩