Теорема. Неравенство Минковского

Теорема

При любых $x,y$ из евклидова пространства $L$ верно: $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$Данное утверждение это аналог неравенства треугольника для евклидова пространства.

Доказательство

$\Vert x+y{\Vert }^2=(x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y)$
Далее, согласно корню из неравенства Коши-Буняковского для $(x,y)$ :
$\Vert x+y{\Vert }^2\le (x,x)+2\Vert x\Vert \Vert y\Vert +(y,y)=\Vert x{\Vert }^2+2\Vert x\Vert \Vert y\Vert +\Vert y{\Vert }^2=(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert {)}^2$.
Следовательно, $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$

Примеры

1. $V^3$ - Неравенство треугольника в “чистом виде”
2. ${\mathbf{R}}^n$ $\Vert x+y\Vert =\sqrt{{\left(x_1+y_1\right)}^2+\dots +{\left(x_n+y_n\right)}^2}\le \sqrt{x_1^2+\dots +x_n^2}+\sqrt{y_1^2+\dots +y_n^2}=\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$
3. $F,(f,g)={\int }_a^{b}f(x)\cdot g(x)dx$
   $\sqrt{{\int }_a^b(f(x)+g(x){)}^{2}dx}\le \sqrt{{\int }_a^b{f}^2(x)dx}+\sqrt{{\int }_a^b{g}^2(x)dx}$

евклидовопространство