Теорема. Неравенство Коши-Буняковского

Теорема

$$\begin{array}{rl}& \forall x,y\in V\\ & (x,y{)}^2\le (x,x)(y,y)\end{array}$$

Доказательство

Рассмотрим скалярный квадрат вектора $x+\alpha y,\alpha \in \mathbf{R}$ :
$(x+\alpha y,x+\alpha y)=(x,x)+2\alpha (x,y)+{\alpha }^2(y,y)\ge 0$ (по свойству 3)
$⟹$ дискриминант уравнения относительно $\alpha :\frac{D}{4}=(x,y{)}^2-(x,x)(y,y)\le 0$
$⟹(x,y{)}^2\le (x,x)(y,y)$

Замечание 1

В обозначениях нормы неравенство Коши-Буняковского будет выглядеть так:
$(x,y{)}^2\le \Vert x{\Vert }^2\Vert y{\Vert }^2$

Замечание 2

Поскольку $(x,y{)}^2\le \Vert x{\Vert }^2\Vert y{\Vert }^2⟺|(x,y)|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert ⟺\frac{|(x,y)|}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert }\le 1⟺$
$⟺-1\le \frac{(x,y)}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert }\le 1$, дробь $\frac{(x,y)}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert }$ можно назвать “косинусом угла” между векторами $x$ и $y$
В таком случае $(x,y)=\Vert x\Vert \Vert y\Vert \cos (x\widehat{,}y)$

евклидовопространство