Теорема. Единственность проекции вектора на подпространство

Теорема

Пусть $U$ подпространство ($U\le V),x\notin U$. Тогда существует единственный вектор

$$x_0\in U:\left(x-x_0\right)\perp U$$

Доказательство

Пусть $e_1,e_2,\dots ,e_m-$ базис $U,x_0\in U$. Тогда
$x_0={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\dots +{\alpha }_m{e}_m$
Если $\left(x-x_0\right)\perp U$, то в частности:

$$\left(x-x_0,e_1\right)=0,\left(x-x_0,e_2\right)=0,\dots ,\left(x-x_0,e_m\right)=0$$

т.е. мы получаем систему из $m$ уравнений с $m$ неизвестными:

$$\{\begin{array}{l}\left({\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\dots +{\alpha }_m{e}_m,e_1\right)=\left(x,e_1\right)\\ \left({\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\dots +{\alpha }_m{e}_m,e_2\right)=\left(x,e_2\right)\\ \dots \\ \left({\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\dots +{\alpha }_m{e}_m,e_m\right)=\left(x,e_m\right)\end{array}$$

Разложим левые части уравнений в сумму $m$ скалярных произведений по свойству линейности и запишем матрицу коэффициентов этой системы уравнений:

$$\left(\begin{array}{cccc}\left(e_1,e_1\right)& \left(e_2,e_1\right)& \dots & \left(e_m,e_1\right)\\ \left(e_1,e_2\right)& \left(e_2,e_2\right)& \dots & \left(e_m,e_2\right)\\ \dots & & & \\ \left(e_1,e_m\right)& \left(e_2,e_m\right)& \dots & \left(e_m,e_m\right)\end{array}\right)=A$$

Её определитель не может быть равен нулю. В противном случае нашлась бы строка, выражающаяся через другие с коэффициентами ${\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m$, например, первая. Вычтем из неё соответствующую линейную комбинацию, получим строку:

$$\left(\left(e_1,e_1-{\lambda }_2{e}_2-\dots -{\lambda }_m{e}_m\right)\left(e_2,e_1-{\lambda }_2{e}_2-\dots -{\lambda }_m{e}_m\right)\dots \left(e_m,e_1-{\lambda }_2{e}_2-\dots -{\lambda }_m{e}_m\right)\right),$$

где все элементы - нули
Таким образом, нашёлся вектор $e_1-{\lambda }_2{e}_2-\dots -{\lambda }_m{e}_m\in U$, ортогональный всем элементам базиса и, следовательно, всем векторам подпространства. Этим вектором может быть только $\theta$, т.е.

$$e_1-{\lambda }_2{e}_2-\dots -{\lambda }_m{e}_m=\theta$$

и элементы линейно зависимы, что невозможно, так как это базис

Следовательно, решение единственно, а, значит, у каждого вектора существует единственная ортогональная проекция на подпространство.

евклидовопространство