Теорема. Ортогональный базис собственных векторов унитарного оператора

Теорема

Пусть $A$ — Унитарный оператор $n$-мерного пространства $L$.
Тогда существуют $n$ попарно ортогональных собственных векторов.

Доказательство

Повторяем действия из доказательство теоремы об ортонормированном базисе собственных векторов

1. Выберем собственный вектор $u_1$, $A(u_1)={\lambda }_1{u}_1$, $|{\lambda }_1|=1$.
2. Ортогональное дополнение
   $L_{u_1}^{\prime }=\{x\in L\mid (x,u_1)=0\}$
   инвариантно, так как $(x,u_1)=0\Rightarrow (Ax,u_1)=0$.
3. Сужение $A{\mid }_{L_{u_1}^{\prime }}$ остаётся унитарным, поэтому в $L_{u_1}^{\prime }$ найдётся собственный вектор $u_2\perp u_1$.
4. Продолжая процесс, получаем ортогональные собственные векторы
   $u_1,\dots ,u_n.$

Следствие

Для каждого унитарного оператора $B$ в $n$-мерном евклидовом пространстве $L$ существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора диагональна, причем все диагональные элементы по модулю равны 1.

линейныйоператор