Теорема. Скалярное произведение в ортонормированном базисе

Теорема

В ортонормированном базисе Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноимённых координат.

Доказательство

Действительно, пусть $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ - ортонормированный базис евклидова пространства $L$ . Возьмём два вектора этого пространства $x = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + \dots + x_{n} e_{n}, y = y_{1} e_{1} + y_{2} e_{2} + \dots + y_{n} e_{n}$
и запишем их Скалярное произведение: $(x, y) = (x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + \dots + x_{n} e_{n}, y_{1} e_{1} + y_{2} e_{2} + \dots + y_{n} e_{n})$ Разобьём это скалярное произведение на составляющие по свойству линейности и, учитывая попарную ортогональность векторов и их нормированность, получим: $x_{1} y_{1} (e_{1}, e_{1}) + x_{2} y_{2} (e_{2}, e_{2}) + \dots + x_{n} y_{n} (e_{n}, e_{n}) = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots + x_{n} y_{n}$
что и требовалось получить.

евклидовопространство

etuMath

Проводник

Теорема. Скалярное произведение в ортонормированном базисе

Вид графа

Обратные ссылки