Теорема. Линейная независимость попарно ортогональных векторов

Теорма

Если ненулевые векторы $e_1,e_2,\dots ,e_n$ попарно ортогональны, то они линейно независимы.

Доказательство

Составим линейную комбинацию данных векторов: ${\lambda }_1{e}_1+{\lambda }_2{e}_2+\dots +{\lambda }_n{e}_n=\theta$
Умножим скалярно обе части равенства на $e_1$, получим:
${\lambda }_1\left(e_1,e_1\right)=0$
Поскольку $e_1\ne \theta$, получаем, что ${\lambda }_1=0$.
Умножая скалярно линейную комбинацию на ${\lambda }_2,\dots {\lambda }_n$, получим, что и оставшиеся коэффициенты равны 0. Следовательно, векторы линейно независимы.
Теорема доказана.

евклидовопространство