Теорема. Взаимно-однозначное соответствие «оператор-матрица» в фиксированном базисе

Теорема

Пусть $g_1,g_2,\dots ,g_n$ — фиксированный базис пространства $L(\dim L=n)$.

1. Различным линейным операторам $A,B:L\to L$ соответствуют различные матрицы $A_g,B_g$ в этом базисе.
2. Каждая квадратная матрица $D_g$ порядка $n$ является матрицей некоторого линейного оператора $D:L\to L$ в том же базисе.

Доказательство

1. Однозначность оператора по его матрице.
Если $A_g=B_g$, то для любого вектора $x\in L$
$A(x)=A_g{x}_g=B_g{x}_g=B(x),$
значит $A=B$.

2. Любая матрица задаёт оператор.
Пусть дана матрица $D_g$. Определим отображение
$D:L⟶L,D(x)=D_g{x}_g.$
Тогда для всех $x,y\in L$ и $\lambda \in F$ выполняются свойства линейности:
$D(x+y)=D_g(x_g+y_g)=D_g{x}_g+D_g{y}_g=D(x)+D(y),$
$D(\lambda x)=D_g(\lambda x_g)=\lambda D_g{x}_g=\lambda D(x).$
Поэтому $D$ — линейный оператор с матрицей $D_g$.

2.1 Проверка на базисных векторах.
Для каждого $g_i$ имеем $D(g_i)=D_g{e}_i$, где $e_i$ — $i$-й стандартный столбец.
Его координаты в базисе $g$ совпадают с $i$-м столбцом $D_g$, как и требовалось.

Пример

В ${\mathbb{R}}^2$ с базисом $g_1=(1,0)$, $g_2=(0,1)$ возьмём матрицу

$$D_g=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right).$$

Тогда оператор $D$ действует как поворот плоскости на $90^{\circ }$ против часовой стрелки:

$$D(x_1,x_2)=(-x_2,x_1).$$

линейныйоператор