Теорема. Матрица линейного оператора в разных базисах

Теорема

Пусть $g_1,\dots ,g_n$ и $f_1,\dots ,f_n$ — два базиса пространства $L$,
а $A_g$ — матрица линейного оператора $A:L\to L$ в базисе $g$.
Тогда матрица того же оператора в базисе $f$ выражается формулой

$$A_f=C_{f\to g}{A}_g{C}_{g\to f},$$

где $C_{g\to f}$¹ переводит координаты из $f$ в $g$,
а $C_{f\to g}=C_{g\to f}^{-1}$ — обратно из $g$ в $f$.

Доказательство

Для любого $x\in L$ выполняется:

$$x_g=C_{g\to f}{x}_f,y_g=A_g{x}_g,y_f=C_{f\to g}{y}_g,$$

где $y=A(x)$ ¹ . Подставив $x_g$ и $y_g$, получаем

$$y_f=C_{f\to g}{A}_g{C}_{g\to f}{x}_f.$$

По определению $A_f$ имеем также $y_f=A_f{x}_f$, отсюда

$$A_f=C_{f\to g}{A}_g{C}_{g\to f}.$$

линейныйоператор

Footnotes

1. Образ линейного оператора ↩ ↩²