Теорема. Нормосохраняющий оператор унитарен

Теорема

Если комплексный оператор $B$ сохраняет норму любого вектора, то он является унитарным.

Доказательство

Предположим, что $\Vert B(x)\Vert =\Vert x\Vert$ ¹ для всех $x\in L$, то есть
$(B(x),B(x))=(x,x).$
Используя разложение нормы, восстанавливаем скалярное произведение:

$$(x,y)=\frac{(x+y,x+y)-(x-y,x-y)+i(x+iy,x+iy)-i(x-iy,x-iy)}{4}.$$

Нормы инвариантны ² $\Rightarrow$ скалярные произведения тоже, поэтому
$(B(x),B(y))=(x,y)\forall x,y\in L.$
Тогда, как и в предыдущей теореме ³,
$B^{\ast }\circ B=I,B\circ B^{\ast }=I,$
то есть $B$ унитарен.

Зафиксируем ортонормированный базис $e_1,\dots ,e_n$ пространства $L$ и обозначим матрицу $B$ в нём через

$$B_e=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ ⋮& & & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \dots & b_{nn}\end{array}\right),B_e^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{\bar{b}}_{11}& {\bar{b}}_{21}& \dots & {\bar{b}}_{n1}\\ {\bar{b}}_{12}& {\bar{b}}_{22}& \dots & {\bar{b}}_{n2}\\ ⋮& & & ⋮\\ {\bar{b}}_{1n}& {\bar{b}}_{2n}& \dots & {\bar{b}}_{nn}\end{array}\right).$$

Из равенства $B_e\circ B_e^{\ast }=I$ следуют два вида сумм:

\sum_{k=1}^{n} b_{ik}\bar b_{ik}=1\quad(i=j).$$ То есть строки (и аналогично столбцы) $B_{e}$ образуют ортонормированную систему. Читая матрицу по столбцам, получаем $$B(e_{i})=b_{1i}e_{1}+b_{2i}e_{2}+\dots+b_{ni}e_{n},$$ и $$\bigl(B(e_{k}),\,B(e_{l})\bigr)=\sum_{s=1}^{n} b_{sk}\bar b_{sl},$$ что равно 1 при $k=l$ и 0 при $k\neq l$. Следовательно, [[Линейный оператор#^5bf727|образ]] [[Базис линейного пространства|базиса]] $\{e_i\}$ под $B$ — тоже [[Ортогональный и ортонормированный базисы#^b58d53|ортонормированный базис]], что эквивалентно [[Унитарный оператор|унитарности]] $B$. [[Матрица]], столбцы которой удовлетворяют этим условиям (ортонормированы), называется **унитарной**

Замечание

В вещественном пространстве условие $B^{\mathsf{T}}\circ B=I$ даёт ортогональную матрицу; все изложенные выше выводы остаются справедливыми.

линейныйоператор

Footnotes

1. $\Vert x\Vert$ - Норма вектора ↩

2. Оператор $B$ не изменяет норму ни одного вектора пространства ↩

3. $I$ - Тождественный оператор ↩