Теорема. Характеризация унитарного оператора

Характеризация унитарного оператора

Оператор комплексного пространства, сохраняющий скалярное произведение, является унитарным.

Доказательство

Предположим, что для любых $x,y\in L$ выполняется
$(B(x),B(y))=(x,y).$
Тогда ¹
$(x,B^{\ast }\circ B(y))=(x,y)=(x,I(y)).$
Вычтя правую часть из левой, получаем
$0=(x,(B^{\ast }\circ B-I)(y))$
для всех $x,y\in L$. Следовательно, вектор $(B^{\ast }\circ B-I)(y)$ ортогонален всем векторам пространства, что возможно лишь при
$(B^{\ast }\circ B-I)(y)=\theta .$
Так как $y$ произволен, имеем
$B^{\ast }\circ B=I.$

Из равенства $B^{\ast }\circ B=I$ следует, что $\mathrm{Ker}B=\{\theta \}$ ², то есть $B$ обратим.
Умножая равенство слева на $B$ и справа на $B^{-1}$, получаем
$B\circ B^{\ast }\circ B\circ B^{-1}=B\circ I\circ B^{-1}=I⟹B\circ B^{\ast }=I.$
Таким образом, $B$ удовлетворяет условиям
$B^{\ast }\circ B=I\text{и}B\circ B^{\ast }=I,$
то есть является унитарным.
Теорема доказана.

линейныйоператор

Footnotes

1. $I$ - тождественный оператора ↩

2. $\mathrm{Ker}B$ - Ядро линейного оператора ↩