Теорема. Структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения

Теорема

Пусть $L_n:R{F}_n⟶R{F}_n$ — линейный дифференциальный оператор, $f\in R{F}_n$, $y_{\ast }$ — частное решение уравнения $L_n(y)=f$.
Тогда Множество всех решений этого уравнения равно

$$y_{\ast }+\mathrm{Ker}{L}_n=\{y_{\ast }+y_0\mid y_0\in R{F}_n,L_n(y_0)=0\}.$$

(без доказательства)

Пример

Найти общее решение неоднородного ДУ

$$y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+4y=x^2.$$

Так как корнями характеристического уравнения являются числа $1$ и $4$,
$\mathrm{Ker}{L}_2=⟨e^x,e^{4x}⟩$. ¹
Заметим, что $y_{\ast }=a{x}^2+bx+c$, поскольку сумма такой функции и первых двух её производных может быть равна правой части.

Подставим $y_{\ast }$ в ДУ:

& \bigl(a\,x^{2} + b\,x + c\bigr)'' - 5\,\bigl(a\,x^{2} + b\,x + c\bigr)' + 4\,\bigl(a\,x^{2} + b\,x + c\bigr) = - 5\bigl(2a\,x + b\bigr) + 4\bigl(a\,x^{2} + b\,x + c\bigr) = \\ & = x^{2}(4a) + x\bigl(-10a + 4b\bigr) + \bigl(2a - b - 4c\bigr) = x^{2}. \end{aligned}

Найдём коэффициенты из системы
$\left(\begin{array}{cccc}4& 0& 0& 1\\ -10& 4& 0& 0\\ 2& -1& -4& 0\end{array}\right)$
откуда

$$a=\frac{1}{4},b=\frac{5}{8},c=-\frac{1}{32}.$$

Таким образом,

$$y=C_1{e}^x+C_2{e}^{4x}+\frac{1}{4}{x}^2+\frac{5}{8}x-\frac{1}{32}.$$

линейныйдифференциальныйоператор

Footnotes

1. $\mathrm{Ker}{L}_2$ - Ядро линейного дифференциального оператора ↩