Теорема. Размерность суммы двух подпространств

Теорема

Пусть $L_1,L_2\le V$
$L_1+L_2=L$
$L_1\cap L_2=L_0$
Тогда $\dim L=\dim L_1+\dim L_2-\dim L_0$
т.е. размерность суммы двух подпространств равна сумме их размерностей минус размерность пересечения.

Доказательство

Дополним базис $e_1,\dots ,e_s$ подпространства $L_0$ до базисов $L_1$ и $L_2$ соответственно:
$e_1,\dots ,e_s,g_1,\dots ,g_k-$ базис $L_1$
$e_1,\dots ,e_s,f_1,\dots ,f_l-$ базис $L_2$

• Покажем, что векторы $e_1,\dots ,e_s,g_1,\dots ,g_k,f_1,\dots ,f_l$ линейно независимы:
  Пусть ${\alpha }_1{e}_1+\dots +{\alpha }_s{e}_s+{\beta }_1{g}_1+\dots +{\beta }_k{g}_k+{\gamma }_1{f}_1+\dots +{\gamma }_l{f}_l=\theta$ или
  $x_0+x_1+x_2=\theta$
  для $x_0={\alpha }_1{e}_1+\dots +{\alpha }_s{e}_s,x_1={\beta }_1{g}_1+\dots +{\beta }_k{g}_k,x_2={\gamma }_1{f}_1+\dots +{\gamma }_l{f}_l$
  Тогда $x_0+x_1=-x_2$, а так как $x_0,x_1\in L_1$, то и $x_2\in L_1$
  Но $x_2\in L_2$ как линейная комбинация векторов этого подпространства (ту их часть, которая не выражается через базис $L_1\cap L_2)$.
  Следовательно, $x_2\in L_1\cap L_2=L_0⟹x_2=\theta ,{\gamma }_1=\dots ={\gamma }_l=0$
  Аналогично можно показать, что ${\beta }_i=0(i=1,\dots ,k)$, тогда в линейной комбинации останется ${\alpha }_1{e}_1+\dots +{\alpha }_s{e}_s=\theta ⟹{\alpha }_1=\dots ={\alpha }_s=0$. Линейная независимость доказана.

• Теперь покажем, что любой вектор $L$ можно разложить по векторам $e_1,\dots ,e_s,g_1,\dots ,g_k,f_1,\dots ,f_l$:
  Возьмём произвольный вектор $x\in L$
  $x=x_1+x_2$ при $x_1\in L_1,x_2\in L_2$. Разложим $x_1,x_2$ по своим базисам: $\begin{array}{rl}& x_1={\alpha }_1{e}_1+\dots +{\alpha }_s{e}_s+{\lambda }_1{g}_1+\dots +{\lambda }_k{g}_k,\\ & x_2={\beta }_1{e}_1+\dots +{\beta }_s{e}_s+{\mu }_1{f}_1+\dots +{\mu }_l{f}_l,\end{array}$в свою очередь
  $x=x_1+x_2=\left({\alpha }_1+{\beta }_1\right)e_1+\dots +\left({\alpha }_s+{\beta }_s\right)e_s+{\lambda }_1{g}_1+\dots +{\lambda }_k{g}_k+{\mu }_1{f}_1+\dots +{\mu }_l{f}_l$
  Оба условия выполнены, т.е. $e_1,\dots ,e_s,g_1,\dots ,g_k,f_1,\dots ,f_l$ - базис $L$

• Теперь посчитаем размерности:
  $\dim L_1=k+s$
  $\dim L_2=l+s$
  $\dim L_0=s$
  $\dim L=k+l+s$
  $⟹\dim L=\dim L_1+\dim L_2-\dim L_0$

Пример

Пусть $L_1=\left\{{\left(a_1,a_2,a_3,0\right)}^T\mid a_1,a_2,a_3\in \mathbf{R}\right\},L_2=\left\{{\left(0,b_2,b_3,b_4\right)}^T\mid b_2,b_3,b_4\in \mathbf{R}\right\}$
Тогда $L_1+L_2={\mathbf{R}}^4$
$L_1\cap L_2=\left\{{\left(0,a_2,a_3,0\right)}^T\mid a_2,a_3\in \mathbf{R}\right\}$
$\dim L_1+\dim L_2-\dim \left(L_1\cap L_2\right)=$ $3+3-2=4=\dim {\mathbf{R}}^4$

линейноепространство