Теорема. Сохранение скалярного произведения унитарным оператором

Теорема

Унитарный оператор сохраняет скалярное произведение векторов, норму вектора и Угол между векторами.

Доказательство

Пусть $B$ — Унитарный оператор: $B^{\ast }B=I$. Тогда для любых $x,y$

$$(B(x),B(y))=(x,B^{\ast }\circ B(y))=(x,I(y))=(x,y).$$

Поскольку $\Vert x\Vert =\sqrt{(x,x)}$ и $\cos \angle (x,y)=\frac{(x,y)}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert }$, нормы и угол выражаются через скалярное произведение, следовательно, они также сохраняются после действия $B$.

линейныйоператор