Линейный оператор

• Def. Линейным оператором линейного пространства $V$ называется функция $A:V\to V$, удовлетворяющая двум свойствам линейности:

  1. $\forall x,y\in VA(x+y)=A(x)+A(y)$
  2. $\forall \alpha \in \mathbb{R},\forall x\in VA(\alpha x)=\alpha A(x)$

• Def. Если $A(x)=y$, то $y$ называют образом вектора $x$ при операторе $A$, а $x$ — прообразом (возможно, не единственным) вектора $y$ при $A$.

Лемма

Для любого линейного оператора $A$ пространства $L$ выполняется равенство $A(\theta )=\theta$.

Доказательство
Возьмём произвольный $x\in L$. Поскольку $\theta =0\cdot x$, имеем

$$A(\theta )=A(0\cdot x)=0\cdot A(x)=\theta$$

Различные виды операторов

1. Тождественный оператор $I$: $\forall x\in VI(x)=x$.
   Свойства линейности выполняются непосредственно.
   Матрица $I$ в любом базисе — единичная.
2. Нулевой оператор $\Theta$: $\forall x\in V\Theta (x)=\theta$.
   Матрица $\Theta$ — нулевая.
3. Ортогональное проектирование на подпространство $U\le V$.
   Пусть $A(x)=x_0$ — ортогональная проекция $x$ на $U$. Для $x,y\in V$ с проекциями $x_0,y_0\in U$
   имеем $x+y-(x_0+y_0)=h_x+h_y$, где $h_x,h_y\perp U$. Значит $x_0+y_0$ — проекция суммы,
   то есть $A(x+y)=A(x)+A(y)$. Второе свойство проверяется аналогично.
4. Оператор дифференцирования $D(f)=f^{\prime }$ в пространстве многочленов $P^n[x]$.
   Дифференцирование удовлетворяет обоим свойствам линейности.
5. Сдвиг $B(x)=x+x_0$ с фиксированным $x_0\in L$. $$B(x+y)=x+y+x_0,B(x)+B(y)=x+y+2x_0\ne B(x+y),$$ поэтому $B$ не является линейным оператором.

линейныйоператор