Линейное пространство

Def. Линейным (векторным) пространством $L$ над полем $P$ будем называть Множество элементов, на котором:

• Задана (внутренняя) бинарная операция сложения. Это означает, что выполнено свойство замкнутости:
  Для любых $x,y\in L$ имеет место: $x+y\in L$

  результат сложения любых элементов линейного пространства также является его элементом.

• Задана (внешняя) бинарная операция умножения на элемент поля $P$:
  $\forall x\in L$ и $\lambda \in P$ выполнено: $\lambda x\in L$

• Выполняются следующие восемь аксиом ( $\forall x,y,z\in L,\forall \alpha ,\beta \in P$ ):

  1. Ассоциативность сложения: $(x+y)+z=x+(y+z)$
  2. Коммутативность сложения: $x+y=y+x$
  3. Наличие нейтрального элемента по сложению: $\exists \theta \in L:x+\theta =\theta +x=x$
  4. Обратимость по сложению: $\exists (-x)\in L:x+(-x)=\theta$
  5. Ассоциативность умножения на элементы поля: $\alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x$
  6. Дистрибутивность относительно сложения векторов: $\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$
  7. Дистрибутивность относительно сложения скаляров: $(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$
  8. $1\cdot x=x$

Элементы линейного (векторного) пространства называются векторами.

Замечания

1. Если в качестве поля $P$ взято множество $\mathbf{R}$, то линейное пространство называется вещественным. Если $\mathbf{C}$ - то комплексным.
2. Первые четыре аксиомы определяют группу элементов $L$.
3. Можно было не различать нейтральный элемент линейного пространства $\theta$ и “обычный” ноль (элемент числового поля), однако, учитывая произвольную природу элементов линейного пространства, будем их разделять. Поясним на примерах.

Примеры

1. Пусть $M_{m\times n}(\mathbf{R})$ - множество матриц размера $m\times n$ с вещественными элементами.

Проверка свойств линейного пространства

• Ассоциативность и коммутативность сложения очевидны, так как они наследуются из свойств поля $\mathbf{R}$.
• Нейтральный элемент это нулевая матрица соответствующего размера. Очевидно, что она не совпадает с нулём поля.
• Для любой матрицы $M_0$ существует обратная $-M_0:M_0+\left(-M_0\right)=\theta$
• Остальные свойства несложно проверить самостоятельно

2. $\mathbf{R}[x]$ - множество многочленов от одной переменной $x$ с вещественными коэффициентами

Обоснование

Выполнение аксиом линейного пространства в этом случае также несложно проверить.

• Заметим только, что нейтральным элементом (аксиома 3) в этом множестве является многочлен 0 . В данном случае он совпадает с нулём поля.
• Для $f(x)$ обратным элементом будет $-f(x)$.

линейноепространство