5. Унитарные и ортогональные операторы

Унитарные операторы

Унитарный оператор

Def. Оператор $B$ комплексного пространства $L$ называется унитарным, если $B\circ B^{\ast }=B^{\ast }\circ B=I$Иначе говоря, ¹$B^{-1}=B^{\ast }$² .
$I$ - тождественный оператор

линейныйоператор

Footnotes

1. $B^{-1}$ - Обратная матрица оператора ↩

2. $B^{\ast }$ - Сопряжённый оператор ↩

Ссылка на оригинал

---

Теорема 1. Сохранение скалярного произведения унитарным оператором

Теорема. Сохранение скалярного произведения унитарным оператором

Теорема

Унитарный оператор сохраняет скалярное произведение векторов, норму вектора и Угол между векторами.

Доказательство

Пусть $B$ — Унитарный оператор: $B^{\ast }B=I$. Тогда для любых $x,y$

$$(B(x),B(y))=(x,B^{\ast }\circ B(y))=(x,I(y))=(x,y).$$

Поскольку $\Vert x\Vert =\sqrt{(x,x)}$ и $\cos \angle (x,y)=\frac{(x,y)}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert }$, нормы и угол выражаются через скалярное произведение, следовательно, они также сохраняются после действия $B$.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Теорема 2. Характеризация унитарного оператора

Теорема. Характеризация унитарного оператора

Характеризация унитарного оператора

Оператор комплексного пространства, сохраняющий скалярное произведение, является унитарным.

Доказательство

Предположим, что для любых $x,y\in L$ выполняется
$(B(x),B(y))=(x,y).$
Тогда ¹
$(x,B^{\ast }\circ B(y))=(x,y)=(x,I(y)).$
Вычтя правую часть из левой, получаем
$0=(x,(B^{\ast }\circ B-I)(y))$
для всех $x,y\in L$. Следовательно, вектор $(B^{\ast }\circ B-I)(y)$ ортогонален всем векторам пространства, что возможно лишь при
$(B^{\ast }\circ B-I)(y)=\theta .$
Так как $y$ произволен, имеем
$B^{\ast }\circ B=I.$

Из равенства $B^{\ast }\circ B=I$ следует, что $\mathrm{Ker}B=\{\theta \}$ ², то есть $B$ обратим.
Умножая равенство слева на $B$ и справа на $B^{-1}$, получаем
$B\circ B^{\ast }\circ B\circ B^{-1}=B\circ I\circ B^{-1}=I⟹B\circ B^{\ast }=I.$
Таким образом, $B$ удовлетворяет условиям
$B^{\ast }\circ B=I\text{и}B\circ B^{\ast }=I,$
то есть является унитарным.
Теорема доказана.

линейныйоператор

Footnotes

1. $I$ - тождественный оператора ↩

2. $\mathrm{Ker}B$ - Ядро линейного оператора ↩

Ссылка на оригинал

---

Теорема 3. Нормосохраняющий оператор унитарен

Теорема. Нормосохраняющий оператор унитарен

Теорема

Если комплексный оператор $B$ сохраняет норму любого вектора, то он является унитарным.

Доказательство

Предположим, что $\Vert B(x)\Vert =\Vert x\Vert$ ¹ для всех $x\in L$, то есть
$(B(x),B(x))=(x,x).$
Используя разложение нормы, восстанавливаем скалярное произведение:

$$(x,y)=\frac{(x+y,x+y)-(x-y,x-y)+i(x+iy,x+iy)-i(x-iy,x-iy)}{4}.$$

Нормы инвариантны ² $\Rightarrow$ скалярные произведения тоже, поэтому
$(B(x),B(y))=(x,y)\forall x,y\in L.$
Тогда, как и в предыдущей теореме ³,
$B^{\ast }\circ B=I,B\circ B^{\ast }=I,$
то есть $B$ унитарен.

Зафиксируем ортонормированный базис $e_1,\dots ,e_n$ пространства $L$ и обозначим матрицу $B$ в нём через

$$B_e=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ ⋮& & & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \dots & b_{nn}\end{array}\right),B_e^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{\bar{b}}_{11}& {\bar{b}}_{21}& \dots & {\bar{b}}_{n1}\\ {\bar{b}}_{12}& {\bar{b}}_{22}& \dots & {\bar{b}}_{n2}\\ ⋮& & & ⋮\\ {\bar{b}}_{1n}& {\bar{b}}_{2n}& \dots & {\bar{b}}_{nn}\end{array}\right).$$

Из равенства $B_e\circ B_e^{\ast }=I$ следуют два вида сумм:

\sum_{k=1}^{n} b_{ik}\bar b_{ik}=1\quad(i=j).$$ То есть строки (и аналогично столбцы) $B_{e}$ образуют ортонормированную систему. Читая матрицу по столбцам, получаем $$B(e_{i})=b_{1i}e_{1}+b_{2i}e_{2}+\dots+b_{ni}e_{n},$$ и $$\bigl(B(e_{k}),\,B(e_{l})\bigr)=\sum_{s=1}^{n} b_{sk}\bar b_{sl},$$ что равно 1 при $k=l$ и 0 при $k\neq l$. Следовательно, [[Линейный оператор#^5bf727|образ]] [[Базис линейного пространства|базиса]] $\{e_i\}$ под $B$ — тоже [[Ортогональный и ортонормированный базисы#^b58d53|ортонормированный базис]], что эквивалентно [[Унитарный оператор|унитарности]] $B$. [[Матрица]], столбцы которой удовлетворяют этим условиям (ортонормированы), называется **унитарной**

Замечание

В вещественном пространстве условие $B^{\mathsf{T}}\circ B=I$ даёт ортогональную матрицу; все изложенные выше выводы остаются справедливыми.

линейныйоператор

Footnotes

1. $\Vert x\Vert$ - Норма вектора ↩

2. Оператор $B$ не изменяет норму ни одного вектора пространства ↩

3. $I$ - Тождественный оператор ↩

Ссылка на оригинал

---

Собственные значения унитарных операторов

Теорема 4. Модуль собственного значения унитарного оператора

Теорема. Модуль собственного значения унитарного оператора

Теорема

Для любого собственного значения $\lambda$ унитарного оператора выполняется $|\lambda |=1$.

Доказательство

Пусть $B(x)=\lambda x$, где $x\ne \theta$. Тогда

$$(x,x)=(B(x),B(x))=(\lambda x,\lambda x)=\lambda \bar{\lambda }(x,x).$$

Поскольку $(x,x)\ne 0$ ¹, делим и получаем $\lambda \bar{\lambda }=|\lambda {|}^2=1$, откуда $|\lambda |=1$.

линейныйоператор

Footnotes

1. $(x,x)$ - Скалярное произведение ↩

Ссылка на оригинал

---

Теорема 5. Инвариантность ортогонального дополнения собственного вектора

Теорема. Инвариантность ортогонального дополнения собственного вектора

Теорема

Пусть $B$ — Унитарный оператор $n$-мерного пространства $L$, $u$ — собственный вектор $B$;
$L_u^{\prime }=\{x\in L\mid (x,u)=0\}$
— его Ортогональное дополнение. Тогда $L_u^{\prime }$ инвариантно относительно $B$.

Доказательство

Пусть $B(u)=\lambda u$ и $|\lambda |=1$ (см. теорему о модуле собственного значения).
Для любого $x\in L_u^{\prime }$ имеем $(x,u)=0$. ¹ Тогда
$0=(x,u)=(B(x),B(u))=(B(x),\lambda u)=\bar{\lambda }(B(x),u),$
откуда $(B(x),u)=0$. Следовательно, $B(x)\in L_u^{\prime }$, то есть $L_u^{\prime }$ инвариантно относительно $B$.
Теорема доказана.

линейныйоператор

Footnotes

1. Скалярное произведение ↩

Ссылка на оригинал

---

Теорема 6. Ортогональный базис собственных векторов унитарного оператора

Теорема. Ортогональный базис собственных векторов унитарного оператора

Теорема

Пусть $A$ — Унитарный оператор $n$-мерного пространства $L$.
Тогда существуют $n$ попарно ортогональных собственных векторов.

Доказательство

Повторяем действия из доказательство теоремы об ортонормированном базисе собственных векторов

1. Выберем собственный вектор $u_1$, $A(u_1)={\lambda }_1{u}_1$, $|{\lambda }_1|=1$.
2. Ортогональное дополнение
   $L_{u_1}^{\prime }=\{x\in L\mid (x,u_1)=0\}$
   инвариантно, так как $(x,u_1)=0\Rightarrow (Ax,u_1)=0$.
3. Сужение $A{\mid }_{L_{u_1}^{\prime }}$ остаётся унитарным, поэтому в $L_{u_1}^{\prime }$ найдётся собственный вектор $u_2\perp u_1$.
4. Продолжая процесс, получаем ортогональные собственные векторы
   $u_1,\dots ,u_n.$

Следствие

Для каждого унитарного оператора $B$ в $n$-мерном евклидовом пространстве $L$ существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора диагональна, причем все диагональные элементы по модулю равны 1.

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Ортогональные операторы

Ортогональный оператор

Def. Линейный оператор $A$ вещественного евклидова пространства $L$ называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение, то есть для всех $x,y\in L$ $(A(x),A(y))=(x,y)$

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Теорема 7. Нормосохраняющий оператор ортогонален

Теорема. Нормосохраняющий оператор ортогонален

Теорема

Пусть $A$ — линейный оператор $n$-мерного евклидова пространства $L$.
Если $\Vert A(x)\Vert =\Vert x\Vert$ для любого $x\in L$, то $A$ ортогонален.

Доказательство

Для любых $x,y\in L$ раскроем нормы:
$\Vert x+y{\Vert }^2=(x+y,x+y)=\Vert x{\Vert }^2+2(x,y)+\Vert y{\Vert }^2,$

=\|A(x)\|^{2}+2(A(x),A(y))+\|A(y)\|^{2}.$$ Поскольку $A$ сохраняет [[Норма вектора|норму]], $\|A(x)\|=\|x\|$ и $\|A(y)\|=\|y\|$, а также $$\|A(x)+A(y)\|=\|x+y\|,$$ имеем $$\|x\|^{2}+2(A(x),A(y))+\|y\|^{2}= \|x\|^{2}+2(x,y)+\|y\|^{2}.$$

Замечания

• Ортогональный оператор переводит ортонормированный базис $\{e_i\}$ в ортонормированный базис $\{A(e_i)\}$.
• Если $(x,u)=(x,v)$ для всех $x\in L$, то $u=v$, поскольку $(u-v,u-v)=0$.
  Следовательно, $(A(x),A(y))=(x,y)$ для всех $x,y\in L$.
  Отсюда $A^{\ast }\circ A=I$ и, так как ядро $A$ тривиально ($\mathrm{Ker}A=\{\theta \}$), $A$ обратим, т.е. $A^{\ast }=A^{-1}$ .

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Свойства ортогональных операторов

Свойства ортогональных операторов

Из теоремы об ортогональности нормосохраняющего оператора следуют свойства

Свойства ортогонального оператора $A$

1.Ортогональность матрицы. В любом ортонормированном базисе выполняется $A^{T}A=E$; строки и столбцы матрицы взаимно ортонормированы .
2. Невырожденность. Из равенства $A^{T}A=E$ следует $\det A\ne 0$, а значит $\mathrm{Ker}A=\{0\}$ и $A$ обратим.
3. Тождественный оператор. Для $I$ очевидно $I^{T}I=E$, следовательно $I$ ортогонален.
4. Произведение ортогональных операторов ортогонально. Если $A^{T}A=E$ и $B^{T}B=E$, то $(AB{)}^T(AB)=B^T{A}^{T}AB=E$ .
5. Ортогональность обратного. Из $A^{T}A=E$ получаем $A^{-1}=A^T$; значит $(A^{-1}{)}^T{A}^{-1}=A{A}^T=E$ .
6. Определитель $\pm 1$. Так как $\det (A^{T}A)=\det E=1$ и $\det A^T=\det A$, имеем $(\det A{)}^2=1\Rightarrow \det A=\pm 1$ .
7. Собственные числа. Собственные числа ортогонального оператора, если существуют, равны $\pm 1$. $(u,u)=(A(u),A(u))=(\lambda u,\lambda u)={\lambda }^2(u,u)$
8. Сохранение углов. Так как $(A(x),A(y))=(x,y)$ и нормы сохраняются, то $\cos \angle (Ax,Ay)=\cos \angle (x,y)$ — углы не меняются .

Дополнение

Здесь используются свойства сопряжённого оператора из предыдущей лекции

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

Теорема 8. Двумерные ортогональные матрицы

Теорема. Двумерные ортогональные матрицы

Двумерные ортогональные операторы

Пусть
$A=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right)$
— Ортогональная матрица ($A^{T}A=E$). Тогда возможны два случая:

1. $\det A=1$ — матрица поворота
   $\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right).$
2. $\det A=-1$ — матрица отражения; после выбора подходящего ортонормированного базиса она принимает один из видов
   $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\text{или}\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$

Доказательство

Общее уравнение для элементов матрицы.
Из равенства $A^{T}A=E$ получаем
$\gamma =-\beta ,\delta =\alpha ,$
поэтому
$A=\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{array}\right).$

Определитель и два случая.
$\det A=\alpha \delta -\beta \gamma ={\alpha }^2+{\beta }^2.$
То есть $\det A=1$ или $\det A=-1$. Рассмотрим их по отдельности.

---

Случай A: $\det A=1$ .
${\alpha }^2+{\beta }^2=1.$
Существует угол $\phi$, для которого
$\alpha =\cos \phi ,\beta =\sin \phi ,$
и получаем классическую матрицу поворота

Случай B: $\det A=-1$ тогда $(\alpha \delta -\beta \gamma =-1)$
3. Характеристический многочлен.

\chi_A(\lambda) = \det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} \alpha-\lambda & \gamma \\

\beta & \delta-\lambda

\end{vmatrix}
= (\alpha-\lambda)(\delta-\lambda) - \beta\gamma = \
= \lambda^{2}-(\alpha+\delta) \lambda+\alpha \delta-\beta \gamma=\lambda^{2}-(\alpha+\delta) \lambda-1
= \lambda^{2} - 2\alpha \lambda - 1.
\end{array}$Егокорнивещественные:$\lambda_{1}=1,\qquad \lambda_{2}=-1.4. **[[Собственное число и собственный вектор|Собственные векторы]].** Существует ненулевой $u$ с $A(u)=u$ и ненулевой $v$ с $A(v)=-v$. 5. **Ортогональность.** Так как $A$ сохраняет [[Скалярное произведение]], $(u,v)=0$. 6. **Ортонормированный базис.** Берём e_{1} = \frac{u}{|u|},\qquad e_{2} = \frac{v}{|v|}; тогда $A(e_{1}) = e_{1}$ и $A(e_{2}) = -e_{2}$. 7. **Матрица в новом базисе.** В [[Базис линейного пространства|базисе]] $(e_{1},e_{2})$ A = \begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & -1\end{pmatrix}. Если заменить $v$ на $-v$, получаем вторую форму \begin{pmatrix}-1 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix}.$$

линейныйоператор

Ссылка на оригинал

---

По итогам лекции нужно знать:

1. Понятия:

   • Унитарный оператор
   • Ортогональный оператор

2. Собственные значения унитарных операторов (Теоремы 4, 5, 6)

3. Условие ортогональности оператора

4. Свойства ортогональных операторов

5. Матрица ортогонального оператора в двумерном пространстве

6. Основные теоретические факты с доказательствами

линейныйоператор