Теорема. Двумерные ортогональные матрицы

Двумерные ортогональные операторы

Пусть
$A=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right)$
— Ортогональная матрица ($A^{T}A=E$). Тогда возможны два случая:

1. $\det A=1$ — матрица поворота
   $\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right).$
2. $\det A=-1$ — матрица отражения; после выбора подходящего ортонормированного базиса она принимает один из видов
   $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\text{или}\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$

Доказательство

Общее уравнение для элементов матрицы.
Из равенства $A^{T}A=E$ получаем
$\gamma =-\beta ,\delta =\alpha ,$
поэтому
$A=\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{array}\right).$

Определитель и два случая.
$\det A=\alpha \delta -\beta \gamma ={\alpha }^2+{\beta }^2.$
То есть $\det A=1$ или $\det A=-1$. Рассмотрим их по отдельности.

---

Случай A: $\det A=1$ .
${\alpha }^2+{\beta }^2=1.$
Существует угол $\phi$, для которого
$\alpha =\cos \phi ,\beta =\sin \phi ,$
и получаем классическую матрицу поворота

Случай B: $\det A=-1$ тогда $(\alpha \delta -\beta \gamma =-1)$
3. Характеристический многочлен.

\chi_A(\lambda) = \det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} \alpha-\lambda & \gamma \\

\beta & \delta-\lambda

\end{vmatrix}
= (\alpha-\lambda)(\delta-\lambda) - \beta\gamma = \
= \lambda^{2}-(\alpha+\delta) \lambda+\alpha \delta-\beta \gamma=\lambda^{2}-(\alpha+\delta) \lambda-1
= \lambda^{2} - 2\alpha \lambda - 1.
\end{array}$Егокорнивещественные:$\lambda_{1}=1,\qquad \lambda_{2}=-1.4. **[[Собственное число и собственный вектор|Собственные векторы]].** Существует ненулевой $u$ с $A(u)=u$ и ненулевой $v$ с $A(v)=-v$. 5. **Ортогональность.** Так как $A$ сохраняет [[Скалярное произведение]], $(u,v)=0$. 6. **Ортонормированный базис.** Берём e_{1} = \frac{u}{|u|},\qquad e_{2} = \frac{v}{|v|}; тогда $A(e_{1}) = e_{1}$ и $A(e_{2}) = -e_{2}$. 7. **Матрица в новом базисе.** В [[Базис линейного пространства|базисе]] $(e_{1},e_{2})$ A = \begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & -1\end{pmatrix}. Если заменить $v$ на $-v$, получаем вторую форму \begin{pmatrix}-1 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix}.$$

линейныйоператор