4. Однородные и неоднородные системы уравнений

Однородные системы линейных уравнений

Однородная система линейных уравнений

Def. Система $AX=B$ из $m$ линейных уравнений с $n$ неизвестными называется однородной, если $B=\theta$, т.е. это система вида

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n=0\\ \dots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\dots +a_{mn}{x}_n=0\end{array}$$

Def. Система линейных уравнений называется совместной или разрешимой, если она имеет хотя бы одно решение.

Очевидно, однородная система (ОСЛУ) разрешима всегда, поскольку она имеет нулевое (тривиальное) решение $(0,0,\dots ,0{)}^T$.

системыуравнений

Ссылка на оригинал

---

Теорема 1. Нетривиальные решения ОСЛУ

Теорема. Нетривиальные решения ОСЛУ

Теорема

Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение (ненулевое) тогда и только тогда, когда $\mathrm{rank}A<n$, т.е. когда ранг матрицы коэффициентов меньше числа переменных.

Доказательство

Запишем систему в виде суммы столбцов:

$$\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ \dots \\ a_{m1}\end{array}\right)x_1+\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ \dots \\ a_{m2}\end{array}\right)x_2+\dots +\left(\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\\ \dots \\ a_{mn}\end{array}\right)x_n=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \dots \\ 0\end{array}\right)$$

Если $\mathrm{rank}A<n$, столбцы матрицы $A$ линейно зависимы (иначе вышло бы, что $\mathrm{rank}A=n$ ), а значит, по определению линейной зависимости, должны найтись такие не все нулевые коэффициенты $x_1,x_2,\dots ,x_n$, что Линейная комбинация матриц столбцов равна нулевому столбцу. А это и есть ненулевое решение.

В обратную сторону очевидно: ненулевое решение равносильно линейной зависимости столбцов, значит $\mathrm{rank}A$ не может быть равен $n$.
Теорема доказана.

системыуравнений матрица

Ссылка на оригинал

---

Свойства решений ОСЛУ

Свойства решений ОСЛУ

Теперь пусть ОСЛУ имеет нетривиальное решение, т.е. ранг матрицы коэффициентов $\mathrm{rank}A<n$

1. Если ${\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\right)}^T$ - решение ОСЛУ, то ${\left(\lambda {\alpha }_1,\lambda {\alpha }_2,\dots ,\lambda {\alpha }_n\right)}^T$ для любого $\lambda \in P$.

2. Если ${\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\right)}^T,{\left({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n\right)}^T$ - решения ОСЛУ, то ${\left({\alpha }_1+{\beta }_1,{\alpha }_2+{\beta }_2,\dots ,{\alpha }_n+{\beta }_n\right)}^T$ также будет являться решением.

   Для проверки достаточно подставить столбцы в систему.
   

системыуравнений матрица

Ссылка на оригинал

---

Теорема 2. Свойство всех решений ОСЛУ

Теорема. Свойство всех решениях ОСЛУ

Теорема

Все решения ОСЛУ являются линейными комбинациями $n-r$ линейно независимых решений $(r=\mathrm{rank}A)$

Доказательство

Если $A_1,A_2,\dots ,A_n$ - столбцы матрицы коэффициентов ОСЛУ, то система может быть представлена как

$$A_1{x}_1+A_2{x}_2+\dots +A_n{x}_n=\theta$$

Так как $\mathrm{rank}A<n,n-r$ столбцов являются линейными комбинациями остальных.

Без ограничения общности будем считать, что линейно независимы первые $r$ столбцов. Выразим последующие:

$$\begin{array}{rl}& A_{r+1}=b_{(r+1)1}{A}_1+b_{(r+1)2}{A}_2+\dots +b_{(r+1)r}{A}_r\\ & A_{r+2}=b_{(r+2)1}{A}_1+b_{(r+2)2}{A}_2+\dots +b_{(r+2)r}{A}_r\\ & \dots \\ & A_n=b_{n1}{A}_1+b_{n2}{A}_2+\dots +b_{nr}{A}_r\end{array}$$

Или, в другом виде:

$$\begin{array}{rl}& b_{(r+1)1}{A}_1+b_{(r+1)2}{A}_2+\dots +b_{(r+1)r}{A}_r-A_{r+1}+0\cdot A_{r+2}+\dots +0\cdot A_n=0\\ & b_{(r+2)1}{A}_1+b_{(r+2)2}{A}_2+\dots +b_{(r+2)r}{A}_r+0\cdot A_{r+1}-A_{r+2}+0\cdot A_{r+3}+\dots +0\cdot A_n=0\\ & \dots \\ & b_{n1}{A}_1+b_{n2}{A}_2+\dots +b_{nr}{A}_r+0\cdot A_{r+1}+\dots +0\cdot A_{n-1}-A_n=0\end{array}$$

Отсюда получаем линейно независимые решения:

$$\begin{array}{rl}& X_1={\left(b_{(r+1)1},b_{(r+1)2},\dots ,b_{(r+1)r},-1,0,\dots ,0\right)}^T,\\ & X_2={\left(b_{(r+2)1},b_{(r+2)2},\dots ,b_{(r+2)r},0,-1,\dots ,0\right)}^T,\\ & \dots \\ & X_{n-r}={\left(b_{n1},b_{n2},\dots ,b_{nr},0,0,\dots ,0,-1\right)}^T.\end{array}$$

Покажем, что остальные решения выражаются через найденные $n-r$ линейно независимыерешения.
Пусть $X=\left(x_1^{\prime },\dots ,x_r^{\prime },x_{r+1}^{\prime },\dots ,x_n^{\prime }\right)$ - ещё одно решение ОСЛУ.
Тогда (свойство 2) $Y=X+x_{r+1}^{\prime }{X}_1+x_{r+2}^{\prime }{X}_2+\dots +x_n^{\prime }{X}_{n-r}$ - также решение данной ОСЛУ.
Распишем $Y$ подробно:

$$Y=\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\\ \dots \\ x_r^{\prime }\\ x_{r+1}^{\prime }\\ x_{r+2}^{\prime }\\ \dots \\ x_n^{\prime }\end{array}\right)+x_{r+1}^{\prime }\left(\begin{array}{c}{b}_{(r+1)1}\\ b_{(r+1)2}\\ \dots \\ b_{(r+1)r}\\ -1\\ 0\\ \dots \\ 0\end{array}\right)+x_{r+2}^{\prime }\left(\begin{array}{c}{b}_{(r+2)1}\\ b_{(r+2)2}\\ \dots \\ b_{(r+2)r}\\ 0\\ -1\\ \dots \\ 0\end{array}\right)+\dots +x_n^{\prime }\left(\begin{array}{c}{b}_{n1}\\ b_{n2}\\ \dots \\ b_{nr}\\ 0\\ 0\\ \dots \\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ \dots \\ y_n\\ 0\\ 0\\ \dots \\ 0\end{array}\right)$$

т.е. последние $n-r$ элементов нулевые.

Поскольку $Y$ это решение, иначе это можно записать так:

$$y_1{A}_1+y_2{A}_2+\dots +y_r{A}_r=\theta$$

В силу линейной независимости столбцов $A_1,A_2,\dots ,A_n$ получаем, что $y_1=y_2=\dots =y_r=0$, т.е. $Y=\theta$.
Вследствие построения $Y$ имеем:

$$\theta =X+x_{r+1}^{\prime }{X}_1+x_{r+2}^{\prime }{X}_2+\dots +x_n^{\prime }{X}_{n-r}$$

или

$$X=-x_{r+1}^{\prime }{X}_1-x_{r+2}^{\prime }{X}_2-\dots -x_n^{\prime }{X}_{n-r}$$

т.е. произвольное решение ОСЛУ выражается через $X_1,X_2,\dots ,X_{n-r}$

Теорема доказана.

системыуравнений

Ссылка на оригинал

---

Фундаментальное и общее решение ОСЛУ

Фундаментальное и общее решение ОСЛУ

Def. Множество линейно независимых решений ОСЛУ, таких что любое решение является их линейной комбинацией, называется фундаментальной системой решений данной ОСЛУ.

Def. Выражение $X={\alpha }_1{X}_1+{\alpha }_2{X}_2+\dots +{\alpha }_{n-r}{X}_{n-r}$, являющееся решением системы при всех значениях коэффициентов ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{n-r}$, называется общим решением однородной системы линейных уравнений.

системыуравнений

Ссылка на оригинал

---

Общее решение неоднородной системы линейных уравнений

Неоднородная система линейных уравнений

Неоднородная система линейных уравнений

Def. Неоднородная система уравнений (НОСЛУ) в матричной форме представляется следующим образом:

$$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}& b_2\\ \dots & & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}& b_m\end{array}\right)$$

Def. Такая матрица, содержащая также столбец свободных членов, называется расширенной матрицей системы уравнений. Будем обозначать её как $\bar{A}$.

Замечание

ОСЛУ $-$ частный случай НОСЛУ

системыуравнений

Ссылка на оригинал

---

Теорема 3. Общее решение ОСЛУ и НОСЛУ

Теорема. Общее решение ОСЛУ и НОСЛУ

Теорема

Если неоднородная система линейных уравнений имеет решение, то общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения однородной системы и частного решения неоднородной системы.

Доказательство

Пусть $X_0$ - какое-то частное (конкретное) решение системы, то есть выполнено

$$A{X}_0=B$$

И пусть $X$ - любое другое решение, то есть

$$AX=B$$

Вычитаем из второго уравнения первое:

$$A\left(X_0-X\right)=0$$

это однородная система. Обозначим $Y=X-X_0$
Тогда $Y$ - решение однородной системы, и $X=X_0+Y$

Следствие 1

Если ранг матрицы $r=n$, то соответствующая однородная система имеет только нулевое решение, то есть $Z=\theta$, и неоднородная система имеет единственное решение $X=X_0$

Следствие 2

Если ранг матрицы $r<n$ и НОСЛУ разрешима, то её общее решение представляет собой сумму частного решения неоднородной системы и линейную комбинацию $n-r$ линейно независимых решений соответствующей однородной системы.

системыуравнений матрица

Ссылка на оригинал

---

Базисные переменны

Базисные переменные

Def. Зафиксируем Базисный минор. Переменные, стоящие при коэффициентах, входящих в базисный минор, называются базисными. Остальные переменные называются свободными.

матрица

Ссылка на оригинал

---

Теорема 4. Кронекера-Капелли. Решение системы уравнений

Теорема Кронекера-Капелли. Решение системы уравнений

Теорема

Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу матрицы системы, т.е. $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}\bar{A}$.

Доказательство

Необходимость.
Систему можно представить в виде:

$$x_1{A}_1+x_2{A}_2+\dots +x_n{A}_n=B$$

Это означает, что столбец свободных членов $B$ является линейной комбинацией столбцов матрицы $A$. Это возможно, только если $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}\bar{A}$.

Достаточность.
Пусть $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}\bar{A}=r$. Выберем базисный минор. Перенумеруем переменные так, чтобы он находился в левом верхнем углу.

По теореме о базисном миноре нижние строки расширенной матрицы являются линейно зависимыми от первых строк, то есть могут быть представлены как их линейные комбинации, следовательно, они являются лишними и могут быть отброшены. В результате остаётся система с $r$ уравнениями.
Перенесём свободные переменные вправо и перепишем укороченную систему:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1r}{x}_r=b_1-a_{1(r+1)}{x}_{r+1}-\dots -a_{1n}{x}_n\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2r}{x}_r=b_2-a_{2(r+1)}{x}_{r+1}-\dots -a_{2n}{x}_n\\ \dots \\ a_{r1}{x}_1+a_{r2}{x}_2+\dots +a_{rn}{x}_r=b_r-a_{r(r+1)}{x}_{r+1}-\dots -a_{rn}{x}_n\end{array}$$

Эта система удовлетворяет условиям теоремы Крамера: количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, $\Delta \ne 0$.

Будем придавать свободным переменным произвольные значения и, применяя теорему Крамера, получим: $x_i=\frac{{\Delta }_i}{\Delta }(i=1,2,\dots ,r)$. Таким образом, базисные переменные оказываются выражены через свободные, от значений которых зависят определители ${\Delta }_i$. Следовательно, система разрешима.

Пример решения системы уравнений с помощью теоремы Кронекера-Капелли

Доказательство теоремы Кронекера-Капелли предоставляет нам подход к решению систем линейных уравнений.

Пусть дана однородная система:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-x_3=0,\\ 2x_1+9x_2-3x_3=0,\\ x_1+7x_2-2x_3=0\end{array}$$ $$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 9& -3\\ 1& 7& -2\end{array}\right)=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 5& -1\\ 0& 5& -1\end{array}\right)=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 5& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=2$$

Выделим базисный минор, например, $\left|\begin{array}{ll}1& 2\\ 2& 9\end{array}\right|$, и запишем укороченную систему, назначив не вошедшие в базисный минор переменные свободными ( $x_3=\alpha$ ):

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2=\alpha ,\\ 2x_1+9x_2=3\alpha \end{array}$$

Отсюда: $5x_2=\alpha ,x_2=\frac{\alpha }{5}\Rightarrow x_1=\alpha -\frac{2\alpha }{5}=\frac{3\alpha }{5}$

Получаем общее решение: $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{3}{5}\alpha \\ \frac{\alpha }{5}\\ \alpha \end{array}\right)=\alpha \left(\begin{array}{c}\frac{3}{5}\\ \frac{1}{5}\\ 1\end{array}\right)={\alpha }^{\ast }\left(\begin{array}{l}3\\ 1\\ 5\end{array}\right),\alpha \in R$

системыуравнений матрица

Ссылка на оригинал

---

Метод Гаусса. Решение систем линейных уравнений

Линейно эквивалентные системы

Линейно эквивалентные системы

Подобно тому, как одни строки матрицы могут являться линейными комбинациями других, обозначаемые ими уравнения могут быть линейными комбинациями других.
Уравнения, являющиеся следствиями других, не влияют на решение системы, так как решения, общие для уравнений, входящих в линейную комбинацию, будут являться решениями самой линейной комбинации.

Def. Две системы уравнений являются линейно эквивалентными, если каждое уравнение одной является линейной комбинацией уравнений другой системы.

Линейно эквивалентные системы имеют одни и те же решения либо одновременно несовместны.

системыуравнений матрица

Ссылка на оригинал

---

Элементарные преобразования систем уравнений

Элементарные преобразования систем уравнений

Ответим на вопрос, что происходит с системами уравнений, когда с ними производятся преобразования, соответствующие элементарным преобразованиям строк матрицы системы:

1. Перестановка строк матрицы соответствует перестановке уравнений и не может повлиять на решения системы.
2. Умножение строки на число, не равное нулю, соответствует умножению уравнения на число и также не влияет на решения системы.
3. Прибавление к строке другой с коэффициентом соответствует такому же преобразованию уравнений и даёт эквивалентную систему уравнений.

Сказанное означает, что при решении систем линейных уравнений можно совершать любые элементарные преобразования над уравнениями, при этом будут создаваться эквивалентные системы уравнений.

системыуравнений

Ссылка на оригинал

---

Теорема 5. Метод Гаусса

Теорема. Метод Гаусса

Метод Гаусса заключается в последовательном применении элементарных преобразований над расширенной матрицей коэффициентов системы для приведения её к ступенчатому виду.

Теорема

Система линейных уравнений приводится с помощью элементарных преобразований и, быть может, изменения нумерации неизвестных к системе с трапециевидной матрицей. В частности для системы из $n$ уравнений с $n$ неизвестными и определителем, не равным нулю, получим систему с треугольной матрицей.

Доказательство

Будем использовать матричную запись системы уравнений. Расположим строки так, чтобы первая содержала коэффициент $a_{11}\ne 0$. Прибавим первую строку с коэффициентом $-\frac{a_{i1}}{a_{11}}$ к остальным строкам $(i=2,\dots ,m)$ :

$$\left(\begin{array}{rrrrr}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}& b_2\\ \dots & & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}& b_m\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{rrrrr}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}& b_1\\ 0& a_{22}^{\prime }& \dots & a_{2n}^{\prime }& b_2^{\prime }\\ \dots & & & & \\ 0& a_{m2}^{\prime }& \dots & a_{mn}^{\prime }& b_m^{\prime }\end{array}\right)$$

Расположим строки так, чтобы вторая вторым элементом имела $a_{22}^{\prime }\ne 0$. Если у всех строк, начиная со второй, на этом месте ноль, перенумеруем переменные (т.е. переставим столбцы) так, чтобы ненулевой элемент появился. Если это невозможно (всюду нули), процесс завершён.

После этого повторим процедуру с предыдущего шага: прибавим вторую строку с коэффициентом $-\frac{a_{i2}^{\prime }}{a_{22}^{\prime 2}}$ к последующим строкам $(i=3,\dots ,m)$ :

$$\left(\begin{array}{rrrlll}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \dots & a_{1n}& b_1\\ 0& a_{22}^{\prime }& a_{23}^{\prime }& \dots & a_{2n}^{\prime }& b_2^{\prime }\\ 0& a_{32}^{\prime }& a_{33}^{\prime }& \dots & a_{3n}^{\prime }& b_3^{\prime }\\ \dots & & & & & a_{m2}^{\prime }\\ 0& a_{m3}^{\prime }& \dots & a_{mn}^{\prime }& b_m^{\prime }& \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{rrrrrr}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \dots & a_{1n}& b_1\\ 0& a_{22}^{\prime \prime }& a_{23}^{\prime \prime }& \dots & a_{2n}^{\prime \prime }& b_2^{\prime \prime }\\ 0& 0& a_{33}^{\prime \prime }& \dots & a_{3n}^{\prime \prime }& b_3^{\prime \prime }\\ \dots & & & & a_{m3}^{\prime \prime }& a_{mn}^{\prime \prime }\\ 0& 0& a_{m3}^{\prime \prime }& \dots & a_{mn}^{\prime \prime }& \end{array}\right)$$

будем повторять эту последовательностей действий (прибавлять строку с коэффициентов к последующим и при необходимости перенумеровывать переменные, переставляя столбцы), пока не приведём матрицу к виду:

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{rrrrrrr}{a}_{11}^{\ast }& a_{12}^{\ast }& \dots & a_{1r}^{\ast }& \dots & a_{1n}^{\ast }& b_1^{\ast }\\ 0& a_{22}^{\ast }& \dots & a_{2r}^{\ast }& \dots & a_{2n}^{\ast }& b_2^{\ast }\\ \dots & & & & & & \dots \\ 0& 0& \dots & a_{rr}^{\ast }& \dots & a_{rn}^{\ast }& b_r^{\ast }\\ 0& 0& \dots & 0& \dots & 0& b_{r+1}^{\ast }\\ \dots & & & & & & \dots \\ 0& 0& \dots & 0& \dots & 0& b_m^{\ast }\end{array}\right),\\ & \\ & \text{ либо }\left(\begin{array}{rrrrrrr}{a}_{11}^{\ast }& a_{12}^{\ast }& \dots & a_{1r}^{\ast }& \dots & a_{1n}^{\ast }& b_1^{\ast }\\ 0& a_{22}^{\ast }& \dots & a_{2r}^{\ast }& \dots & a_{2n}^{\ast }& b_2^{\ast }\\ \dots & & & a_m^{\ast }& & a_{mn}^{\ast }& \dots \\ 0& 0& \dots & a_{mr}^{\ast }& \dots & b_m^{\ast }& \end{array}\right)\text{, }\\ & \\ & \text{ либо }\left(\begin{array}{rrrrrrrr}{a}_{11}^{\ast }& a_{12}^{\ast }& \dots & a_{1k}^{\ast }& \dots & a_{1(n-1)}^{\ast }& a_{1n}^{\ast }& b_1^{\ast }\\ 0& a_{22}^{\ast }& \dots & a_{2k}^{\ast }& \dots & a_{2(n-1)}^{\ast }& a_{2n}^{\ast }& b_2^{\ast }\\ \dots & & & & & & a^{\ast }& \\ 0& 0& \dots & 0& \dots & a_{(n-1)(n-1)}^{\ast }& a_{(n-1)n}^{\ast }& b_{n-1}^{\ast }\\ 0& 0& \dots & 0& \dots & 0& a_{nn}^{\ast }& b_n^{\ast }\end{array}\right)\text{ при }\mathrm{rank}A=n\text{. }\end{array}$$

Количество ненулевых строк расширенной матрицы $A$ будет равно $\mathrm{rank}A$, а число ненулевых $b_i^{\ast }$ (при $i>r$ ) будет равно рангу $\mathrm{rank}\bar{A}-\mathrm{rank}A$.

Итак, система приведена к ступенчатому виду. Она имеет решение, если все $b_i^{\ast }$ при $i>r$ равны нулю.
Если система совместна и $\mathrm{rank}A=n$, матрица $A$ будет иметь треугольный вид (нулевые строки, т.е. тривиальные уравнения, можно откинуть).
Описанные в теореме действия называют прямым ходом метода Гаусса.
Далее для решения системы совершаем действия из доказательства теоремы Кронекера Капелли:

1. Переменные не вошедшие в Базисный минор (т.е. в подматрицу $r\times r$ в левом верхнем углу) объявляем свободными и придаём им произвольные значения: $x_{r+1}={\alpha }_{r+1},\dots ,x_n={\alpha }_n$.

2. Из последнего $r$-го уравнения выражаем $x_r$ : $x_r=\frac{1}{a_{rr}^{\ast }}\left(b_r^{\ast }-a_{r(r+1)}{\alpha }_{r+1}-\dots -a_{rn}{\alpha }_{rn}\right)$

3. С учётом найденного $x_r$ из предпоследнего уравнения выражаем $x_{r-1}$.

4. Повторяем процедулу вплоть до $x_1$.

Действия по определению $x_r,x_{r-1},\dots ,x_1$ называют обратным ходом метода Гаусса.
В конце результат записывают с использованием столбцов фундаментальной системы решений.

Примеры

1. Рассмотрим пример:

$$\{\begin{array}{l}7x_1-5x_2-2x_3-4x_4=8,\\ -3x_1+2x_2+x_3+2x_4=-3,\\ 2x_1-x_2-x_3-2x_4=1,\\ -x_1+x_3+2x_4=1,\\ -x_2+x_3+2x_4=3.\end{array}$$

Перепишем систему в матричном виде, переставим уравнения удобным образом и будем совершать элементарные преобразования строк для приведения к ступенчатому виду:

$$\left(\begin{array}{ccccc}7& -5& -2& -4& 8\\ -3& 2& 1& 2& -3\\ 2& -1& -1& -2& 1\\ -1& 0& 1& 2& 1\\ 0& -1& 1& 2& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccccc}-1& 0& 1& 2& 1\\ 0& -1& 1& 2& 3\\ 0& -1& 1& 2& 3\\ 0& 2& -2& -4& -6\\ 0& -5& 5& 10& 15\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccccc}-1& 0& 1& 2& 1\\ 0& -1& 1& 2& 3\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}\bar{A}=2$. Переменные, не вошедшие в Базисный минор, т.е. $x_3$ и $x_4$ объявляем свободными и придаём им произвольные значения: $x_3=\alpha ,x_4=\beta$. Затем выражаем через них $x_1,x_2$ :

$$x_2=\alpha +2\beta -3,x_1=\alpha +2\beta -1$$

Записываем результат:

$$\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\alpha +2\beta -1\\ \alpha +2\beta -3\\ \alpha \\ \beta \end{array}\right)=\alpha \left(\begin{array}{l}1\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{l}2\\ 2\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

Здесь фундаментальная система решений содержит два элемента: $(1,1,1,0{)}^T,(2,2,0,1{)}^T$. Частным решением является столбец $(-1,-3,0,0{)}^T$.

Замечание

В случае двух и более свободных переменных результат неоднозначен и в фундаментальную систему решений могут входить разные наборы столбцов, но всегда в одном и том же количестве, $n-r$.

2. Рассмотрим другой пример:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-x_3=1\\ 2x_1+3x_2-3x_3=2\\ -x_1-2x_2+2x_3=3\end{array}$$ $$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 1\\ 2& 3& -3& 2\\ -1& -2& 2& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 1\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& -1& 1& 4\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 1\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right)$$

$\mathrm{rank}A=2,\mathrm{rank}\bar{A}=3$ и система не имеет решений. Это также легко видеть из последнего уравнения, в котором сумма нулей приравнивается к 4.

системыуравнений матрица

Ссылка на оригинал

---

По итогам лекции нужно знать:

1. Понятия:

   • Однородные и неоднородные системы
   • Общее решение ОСЛУ и НОСЛУ
   • Фундаментальная система решений

2. Существование ненулевого решения ОСЛУ

3. Свойства решений ОСЛУ

4. Совместность СЛУ

5. Метод Гаусса

6. Основные теоретические факты и их доказательство

системыуравнений