Теорема. О базисных строках (столбцах) матрицы

Теорема

Любая строка (столбец) матрицы $A_{m\times n}$ является линейной комбинацией базисных строк (столбцов) этой матрицы.

Доказательство

Итак, пусть ранг $\mathrm{rank}A=r$ и $0<r\le \min (m,n)$.

Без ограничений общности будем считать, что базисный минор расположен в левом верхнем углу матрицы $A$.

$$\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \dots & a_{1r}& a_{1(r+1)}& \dots & a_{1n}\\ \dots & & & & & \\ a_{r1}& \dots & a_{rr}& a_{r(r+1)}& \dots & a_{rn}\\ a_{(r+1)1}& \dots & a_{(r+1)r}& a_{(r+1)(r+1)}& \dots & a_{(r+1)n}\\ \dots & & & & & \\ a_{m1}& \dots & a_{mr}& a_{m(r+1)}& \dots & a_{mn}\end{array}\right|$$

Рассмотрим минор порядка $r+1$, присоединив к базисному минору $s-$ ю строку и $t$-й столбец:

$$\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \dots & a_{1r}& a_{1t}& \dots & a_{1n}\\ \dots & & & & & \\ a_{r1}& \dots & a_{rr}& a_{rt}& \dots & a_{rn}\\ \underline{a_{s1}}& \dots & \underline{a_{sr}}& \underline{a_{st}}\mid & \dots & a_{sn}\\ \dots & & & & & \\ a_{m1}& \dots & a_{mr}& a_{mt}& \dots & a_{mn}\end{array}\right|$$

Обозначим его через $D$. Есть два варианта:

1. $1\le s\le r$ либо $1\le t\le r$. Тогда в $D$ оказываются две одинаковые строки или два одинаковых столбца и $D=0$.

Примечание В данном случае мы не получим подматрицу исходной матрицы, поскольку в ней могло не быть одинаковых строк и столбцов

2. $s>r$ и $t>r$. В этом случае $D$ также равен нулю, так как его порядок $r+1$.
   Таким образом, вне зависимости от выбора $s,t$ минор $D=0$.
   Разложим его по $s$-й строке: $D=a_{s1}{A}_{s1}+a_{s2}{A}_{s2}+\dots +a_{st}{A}_{st}=0$
   Данные алгебраические дополнения не зависят от выбора $s$, так как составлены из строк базисного минора.

Рассмотрим систему уравнений, помещая на место присоединённой $s$-й строки поочерёдно каждую из имеющихся $n$ строк (только что определили, что в правой части в результате всегда получится 0):

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{A}_{s1}+\dots +a_{1r}{A}_{sr}+a_{1t}{A}_{st}=0\\ \dots \\ a_{n1}{A}_{s1}+\dots +a_{nr}{A}_{sr}+a_{nt}{A}_{st}=0\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

Теперь выразим $a_{pt}$ по всем строкам $p=1,2,\dots ,n$ (деление на $A_{st}$ возможно, так как это базисный минор):

$$\{\begin{array}{l}{a}_{1t}=-a_{11}\frac{A_{s1}}{A_{st}}-\dots -a_{1r}\frac{A_{sr}}{A_{st}},\\ \dots \\ a_{nt}=-a_{n1}\frac{A_{s1}}{A_{st}}-\dots -a_{1r}\frac{A_{nr}}{A_{st}}.\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

Эти соотношения показывают, что весь $t$-й столбец является линейной комбинацией $r$ столбцов из базисного минора. Поскольку $t$ выбрано произвольно, получаем, что любой столбец есть линейная комбинация базисных (здесь $t>r$, но для $t\le r$ всё ещё более очевидно).

Аналогичными рассуждениями делается вывод для строк. Теорема доказана.

матрица