Теорема Кронекера-Капелли. Решение системы уравнений

Теорема

Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу матрицы системы, т.е. $rank A = rank \overset{ˉ}{A}$ .

Доказательство

Необходимость.
Систему можно представить в виде:
$x_{1} A_{1} + x_{2} A_{2} + \dots + x_{n} A_{n} = B$
Это означает, что столбец свободных членов $B$ является линейной комбинацией столбцов матрицы $A$ . Это возможно, только если $rank A = rank \overset{ˉ}{A}$ .

Достаточность.
Пусть $rank A = rank \overset{ˉ}{A} = r$ . Выберем базисный минор. Перенумеруем переменные так, чтобы он находился в левом верхнем углу.

По теореме о базисном миноре нижние строки расширенной матрицы являются линейно зависимыми от первых строк, то есть могут быть представлены как их линейные комбинации, следовательно, они являются лишними и могут быть отброшены. В результате остаётся система с $r$ уравнениями.
Перенесём свободные переменные вправо и перепишем укороченную систему:
$⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 r} x_{r} = b_{1} - a_{1 (r + 1)} x_{r + 1} - \dots - a_{1 n} x_{n} a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 r} x_{r} = b_{2} - a_{2 (r + 1)} x_{r + 1} - \dots - a_{2 n} x_{n} \dots a_{r 1} x_{1} + a_{r 2} x_{2} + \dots + a_{r n} x_{r} = b_{r} - a_{r (r + 1)} x_{r + 1} - \dots - a_{r n} x_{n}$
Эта система удовлетворяет условиям теоремы Крамера: количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, $Δ \neq = 0$ .

Будем придавать свободным переменным произвольные значения и, применяя теорему Крамера, получим: $x_{i} = \frac{Δ _{i}}{Δ} (i = 1, 2, \dots, r)$ . Таким образом, базисные переменные оказываются выражены через свободные, от значений которых зависят определители $Δ_{i}$ . Следовательно, система разрешима.

Пример решения системы уравнений с помощью теоремы Кронекера-Капелли

Доказательство теоремы Кронекера-Капелли предоставляет нам подход к решению систем линейных уравнений.

Пусть дана однородная система:
$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 0, 2 x_{1} + 9 x_{2} - 3 x_{3} = 0, x_{1} + 7 x_{2} - 2 x_{3} = 0$ $rank A = rank 121297 - 1 - 3 - 2 = rank 100255 - 1 - 1 - 1 = rank 100250 - 1 - 1 0 = 2$
Выделим базисный минор, например, $1229$ , и запишем укороченную систему, назначив не вошедшие в базисный минор переменные свободными ( $x_{3} = α$ ):
${x_{1} + 2 x_{2} = α, 2 x_{1} + 9 x_{2} = 3 α$
Отсюда: $5 x_{2} = α, x_{2} = \frac{α}{5} \Rightarrow x_{1} = α - \frac{2 α}{5} = \frac{3 α}{5}$

Получаем общее решение: $x_{1} x_{2} x_{3} = \frac{3}{5} α \frac{α}{5} α = α \frac{3}{5} \frac{1}{5} 1 = α^{*} 315, α \in R$

системыуравнений матрица

etuMath

Проводник

Теорема Кронекера-Капелли. Решение системы уравнений

Вид графа

Обратные ссылки