Теорема. Нетривиальные решения ОСЛУ

Теорема

Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение (ненулевое) тогда и только тогда, когда $\mathrm{rank}A<n$, т.е. когда ранг матрицы коэффициентов меньше числа переменных.

Доказательство

Запишем систему в виде суммы столбцов:

$$\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ \dots \\ a_{m1}\end{array}\right)x_1+\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ \dots \\ a_{m2}\end{array}\right)x_2+\dots +\left(\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\\ \dots \\ a_{mn}\end{array}\right)x_n=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \dots \\ 0\end{array}\right)$$

Если $\mathrm{rank}A<n$, столбцы матрицы $A$ линейно зависимы (иначе вышло бы, что $\mathrm{rank}A=n$ ), а значит, по определению линейной зависимости, должны найтись такие не все нулевые коэффициенты $x_1,x_2,\dots ,x_n$, что Линейная комбинация матриц столбцов равна нулевому столбцу. А это и есть ненулевое решение.

В обратную сторону очевидно: ненулевое решение равносильно линейной зависимости столбцов, значит $\mathrm{rank}A$ не может быть равен $n$.
Теорема доказана.

системыуравнений матрица