Точечная оценка параметра

Точечная оценка параметра

Пусть имеется выборка $X=(X_1,X_2,\dots ,X_n)$, которая имеет распределение ${\mathcal{F}}_{\xi }$, зависящее от параметра $\theta$ (${\mathcal{F}}_{\xi }(\theta )$, где $\theta \in \Theta$).

Точечной оценкой параметра $\theta$ называется статистика (функция СВ):

$${\hat{\theta }}_n=\psi (X_1,X_2,\dots ,X_n)$$

Значение которой, при заданной реализации выборки, принимают за приближенное значение параметра $\theta$.

Параметр $\theta$ как вектор

Если взять например нормальный закон $N(\underset{E\xi }{\underbrace{{\theta }_1}},\underset{Var\xi }{\underbrace{{\theta }_2^2}})$, то мы получим $\theta =\left(\begin{array}{c}{\theta }_1\\ {\theta }_2\end{array}\right)$

Пример оценки параметра для распределения Пуассона

Пусть $X=(X_1,X_2,\dots ,X_n)\sim \Pi (\theta )$ – выборка из закона Пуассона.

Так как математическое ожидание равно самому параметру $E\xi =\theta$, то в качестве оценки можно взять выборочное среднее:

$${\hat{\theta }}_n=\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k$$