Эффективная оценка

Эффективная оценка

Точечная оценка ${\hat{\theta }}_n$ неизвестного параметра $\theta$ называется эффективной, если она оптимальна в среднеквадратичном смысле. То есть она имеет минимальное математическое ожидание квадрата отклонения от параметра среди всех возможных оценок:

$$E({\hat{\theta }}_n-\theta {)}^2\le E({\tilde{\theta }}_n-\theta {)}^2$$

Где ${\tilde{\theta }}_n$ – любая другая оценка параметра $\theta$.

Смысл эффективности

Эффективность гарантирует наименьший разброс значений оценки вокруг своего среднего. Это требование максимально раскрывается для несмещенных оценок, поскольку их среднее совпадает с истинным параметром $\theta$, обеспечивая минимальный разброс относительно самой искомой величины.

Эффективность несмещенных оценок

Если эффективная оценка ищется строго в классе несмещенных оценок, то эффективной будет являться оценка, имеющая наименьшую дисперсию. (т.к. если оценка несмещенная, то $E{\hat{\theta }}_n=\theta$. Значит, $E({\hat{\theta }}_n-\theta {)}^2=E({\hat{\theta }}_n-E{\hat{\theta }}_n{)}^2=Var{\hat{\theta }}_n$