Эффективная оценка в терминах классов смещения

Эффективная оценка в классе нулевого смещения

Эффективная оценка в смысле среднеквадратического подхода в классе $K_0$ (оценка с наименьшей дисперсией) называется эффективной.

Эффективная оценка в классе ненулевого смещения

Эффективной оценкой в смысле среднеквадратического подхода в классе ненулевого смещения $K_b$ называется оценка с наименьшей дисперсией среди всех оценок этого класса.

Почему это верно

Условие эффективности можно представить в следующем виде:

$$\begin{array}{rl}& {\hat{\theta }}_n-\theta =({\hat{\theta }}_n-E{\hat{\theta }}_n)+(E{\hat{\theta }}_n-\theta )\\ & ({\hat{\theta }}_n-\theta {)}^2=({\hat{\theta }}_n-E{\hat{\theta }}_n{)}^2+2({\hat{\theta }}_n-E{\hat{\theta }}_n)\cdot (E{\hat{\theta }}_n-\theta )+(E{\hat{\theta }}_n-\theta {)}^2\end{array}$$

Заметим, что $(E{\hat{\theta }}_n-\theta )$ это смещение, то есть $b(\theta )$ – const. Возьмём математическое ожидание

$$E({\hat{\theta }}_n-\theta {)}^2=E({\hat{\theta }}_n-E{\hat{\theta }}_n{)}^2+2b(\theta )\cdot E({\hat{\theta }}_n-E{\hat{\theta }}_n)+b(\theta {)}^2$$

Заметим, что $E({\hat{\theta }}_n-E{\hat{\theta }}_n{)}^2$ – это дисперсия, а $E({\hat{\theta }}_n-E{\hat{\theta }}_n)=0$, так как $E{\hat{\theta }}_n$ константа и вынося её по свойству линейности мы получаем $E{\hat{\theta }}_n-E{\hat{\theta }}_n=0$. Учитывая всё это получаем

$$E({\hat{\theta }}_n-\theta {)}^2=Var({\hat{\theta }}_n)+b(\theta {)}^2$$

Смещение в одном и том же классе одинаково, а значит что их эффективность определяется только дисперсией.

Неэффективность попарного сравнения

Попарное сравнение оценок в соответствующем классе – не лучший метод отыскания эффективной оценки.