Свойства эмпирической функции распределения

Свойства эмпирической функции распределения ${\mathcal{F}}_n^{\ast }(t)$ как оценки истинной функции распределения $\mathcal{F}(t)$. Без доказательств.

Несмещённость

${\mathcal{F}}_n^{\ast }(t)$ – несмещённая оценка $\mathcal{F}(t)$.

Дисперсия оценки

$$Var({\mathcal{F}}_n^{\ast }(t))=\frac{\mathcal{F}(t)(1-\mathcal{F}(t))}{n}$$

Асимптотическая нормальность

${\mathcal{F}}_n^{\ast }(t)$ – асимптотически нормальная оценка $\mathcal{F}(t)$:

$$\sqrt{n}({\mathcal{F}}_n^{\ast }(t)-\mathcal{F}(t))\stackrel{d}{\to }\eta ,n\to \infty ,$$

где $\eta \sim N(0,\mathcal{F}(t)(1-\mathcal{F}(t)))$.

Связь с биномиальным распределением

$$n\cdot {\mathcal{F}}_n^{\ast }(t)\sim Bin(n,\mathcal{F}(t))$$