Биномиальное распределение

Видео

Подробнее изучить тему можно в видео на YouTube

Биномиальное распределение

Случайная величина $\xi$ соответствует распределению $Bin(n,p)$ с двумя параметрами $n\in N$ (количество испытаний) $,p\in [0,1]$, если она принимает значения $0,1,2,\dots ,n$ (количество успехов в $n$ испытаниях) с вероятностями:

$$P\{\xi =k\}=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$

Ряд распределения:

$$\begin{array}{ccccccc}{x}_i& 0& 1& \dots & k& \dots & n\\ p_i& (1-p{)}^n& np(1-p{)}^{n-1}& \dots & C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}& \dots & p^n\end{array}$$

Связь с распределением Бернулли

Вероятности значений случайной величины вычисляются по уже знакомой формуле Бернулли
При $n=1$ мы получаем распределение Бернулли.
Поэтому случайная величина $\xi \sim Bin(n,p)$ равна сумме независимых ДСВ

$$\xi =\sum _{i=1}^n{\eta }_i$$

где ${\eta }_i\sim B(p)$

Для нахождения числовых характеристик применим уже найденные значения для распределения Бернулли

Математическое ожидание

$$E\xi =E\left(\sum _{i=1}^n{\eta }_i\right)=\sum _{i=1}^{n}E{\eta }_i=\sum _{i=1}^{n}p=np$$

Дисперсия

$$Var\xi =Var\left(\sum _{i=1}^n{\eta }_i\right)=\sum _{i=1}^{n}Var{\eta }_i=\sum _{i=1}^{n}p(1-p)=np(1-p)$$

Свойство суммы

Если ${\xi }_1\sim Bin(n_1,p),{\xi }_2\sim Bin(n_2,p)$, тогда ${\xi }_1+{\xi }_2\sim Bin(n_1+n_2,p)$