Метод моментов

Метод моментов

Пусть выборка $X=(X_1,X_2,\dots ,X_n)\sim {\mathcal{F}}_{\xi }(\theta )$, где $\theta \in \Theta$. Выбираем функцию $g(y)$ такую, чтобы существовал момент:

$$Eg(X_k)=h(\theta )$$

И функция $h$ была обратима во множестве $\Theta$. Тогда в качестве оценки ${\hat{\theta }}_n$ параметра $\theta$ возьмем решение уравнения:

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}g(X_k)=h({\hat{\theta }}_n)$$

Другой вариант записи

$${\hat{\theta }}_n=h^{-1}\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}g(X_k)\right)$$

Выбор функции

Чаще всего в качестве функции $g(y)$ берут $y^k$.

Условие состоятельности

Если функция $h^{-1}$ непрерывна, то оценка является состоятельной.

Отсутствие несмещенности

Чаще всего оценки, найденные методом моментов, не являются несмещенными.