Пример сравнения оценок в смысле асимптотического нормального подхода

Сравнение оценок для распределения Пуассона

Пусть выборка $X_1,X_2,\dots ,X_n$ соответствует распределению Пуассона с параметром $\theta$.
В качестве оценок параметра $\theta$ возьмём

$${\hat{\theta }}_n=\bar{X},{\tilde{\theta }}_n=\sqrt{{\bar{\alpha }}_2+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}$$

Сравнить их в смысле асимптотического нормального подхода.

Решение

• Первая оценка ${\hat{\theta }}_n=\bar{X}$ при $g(y)=y$. По теореме об асимптотической нормальности среднего

  $${\sigma }_1^2(\theta )=Var(X_k)=\theta .$$

• Вторая оценка ${\tilde{\theta }}_n=\sqrt{{\bar{\alpha }}_2+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}$ строится по второму моменту, поэтому $g(y)=y^2$:

  $$g(y)=y^2,m(y)=\sqrt{y+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2},E{X}_k^2={\theta }^2+\theta .$$

  Здесь $E{X}_k^2=\theta +{\theta }^2$ (выразили через дисперсию), а $m(y)$ выражает параметр через момент: решая ${\theta }^2+\theta =y$ относительно $\theta$, получаем $m(y)=\sqrt{y+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}$.
  По теореме об асимптотической нормальности функции от среднего

  $$\begin{array}{rlr}& m^{\prime }(y)=\frac{1}{2\sqrt{y+\frac{1}{4}}},& m^{\prime }(E{X}_k^2)=\frac{1}{2\sqrt{{\theta }^2+\theta +\frac{1}{4}}}=\frac{1}{2\theta +1},\\ & Var(X_k^2)=4{\theta }^3+6{\theta }^2+\theta ,& {\sigma }_2^2(\theta )=\frac{4{\theta }^3+6{\theta }^2+\theta }{(2\theta +1{)}^2}=\theta \left(1+\frac{2\theta }{(2\theta +1{)}^2}\right).\end{array}$$

  Дисперсия $Var(X_k^2)=4{\theta }^3+6{\theta }^2+\theta$ вычислена через моменты Пуассона.

Сравнение. Так как ${\sigma }_1^2(\theta )=\theta <{\sigma }_2^2(\theta )$, то в смысле асимптотического подхода оценка ${\hat{\theta }}_n$ лучше ${\tilde{\theta }}_n$.