Пример проверки эффективности оценки через неравенство Рао-Крамера

Проверка эффективности выборочного среднего для показательного распределения

Пусть $X_1,X_2,\dots ,X_n\sim \mathcal{E}(1/\theta )$ (показательное распределение). Проверить, будет ли оценка ${\hat{\theta }}_n=\bar{X}$ эффективной по неравенству Рао-Крамера.

Решение

Плотность распределения

$$f_{\theta }(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }{e}^{-t/\theta },& t\ge 0\\ 0,& t<0\end{array}$$

Найдём информацию Фишера $I(\theta )$:

$$\ln f_{\theta }(X_k)=-\ln \theta -\frac{X_k}{\theta },\frac{\partial }{\partial \theta }\ln f_{\theta }(X_k)=-\frac{1}{\theta }+\frac{X_k}{{\theta }^2}=\frac{X_k-\theta }{{\theta }^2}.$$ $$I(\theta )=E{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\ln f_{\theta }(X_k)\right)}^2=\frac{E(X_k-\theta {)}^2}{{\theta }^4}=\frac{Var(X_k)}{{\theta }^4}=\frac{{\theta }^2}{{\theta }^4}=\frac{1}{{\theta }^2}.$$

Найдём дисперсию оценки:

$$Var({\hat{\theta }}_n)=Var(\bar{X})=\frac{1}{n}Var(X_k)=\frac{{\theta }^2}{n}.$$

Сравним с границей Рао-Крамера:

$$Var(\bar{X})=\frac{{\theta }^2}{n}=\frac{1}{nI(\theta )}=\frac{1}{n\cdot \frac{1}{{\theta }^2}}=\frac{{\theta }^2}{n}.$$

Неравенство обращается в равенство, значит оценка $\bar{X}$ эффективна (R-эффективна).