Показательное распределение

Показательное (экспоненциальное) распределение

Случайная величина $\xi$ соответствует распределению $\mathcal{E}(\lambda )$ с параметром $\lambda >0$, если её плотность:

$$f_{\xi }(x)=\lambda e^{-\lambda x}\cdot {\mathbb{I}}_{x\ge 0}(x)=\{\begin{array}{l}\lambda e^{-\lambda x},x\ge 0\\ 0,x<0\end{array}$$

График плотности распределения для $\lambda =2$

Функция распределения примет вид

$${\mathcal{F}}_{\xi }(x)=\{\begin{array}{l}0,x\le 0\\ 1-e^{-\lambda x},x>0\end{array}$$

Доказательство

$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{F}}_{\xi }(t)={\int }_{-\infty }^t{f}_{\xi }(x)dx={\int }_{-\infty }^{0}0dx+{\int }_0^t\lambda e^{-\lambda x}dx=\\ & =\lambda \left(-\frac{1}{\lambda }\right)e^{-\lambda x}{|}_0^t=-e^{-\lambda t}-(-1)=1-e^{-\lambda t}\end{array}$$

График функции распределения для $\lambda =2$

Математическое ожидание

$$E\xi =\frac{1}{\lambda }$$

Доказательство

$$\begin{array}{rl}& E\xi ={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\cdot f_{\xi }(x)dx=\lambda {\int }_0^{+\infty }x\cdot e^{-\lambda x}dx=\underset{b\to +\infty }{\lim }\lambda {\int }_0^{b}x\cdot e^{-\lambda x}dx=\\ & =\left[\begin{array}{ll}u=x& du=dx\\ dv=e^{-\lambda x}dx& v=-\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda x}\end{array}\right]=\underset{b\to +\infty }{\lim }\lambda \left({x\cdot \left(-\frac{1}{\lambda }\right)e^{-\lambda x}|}_0^b-{\int }_0^b-\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda x}dx\right)=\\ & =\underset{b\to +\infty }{\lim }\lambda \left(-\frac{b}{\lambda }{e}^{-\lambda b}-{\frac{1}{{\lambda }^2}{e}^{-\lambda x}|}_0^b\right)=\underset{b\to +\infty }{\lim }\left(\underset{\to 0}{\underbrace{-b{e}^{-\lambda b}}}-\underset{\to 0}{\underbrace{\frac{e^{-\lambda b}}{\lambda }}}+\frac{1}{\lambda }\right)=\frac{1}{\lambda }\end{array}$$

Вычисления для пределов выше по правилу Лопиталя

$$\begin{array}{rl}& -\underset{b\to +\infty }{\lim }b{e}^{-\lambda b}=-\underset{b\to +\infty }{\lim }\frac{b}{e^{\lambda b}}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right]=-\underset{b\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\lambda e^{\lambda b}}=\left[\frac{1}{\infty }\right]=0\\ & -\underset{b\to +\infty }{\lim }\frac{e^{-\lambda b}}{\lambda }=-\underset{b\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\lambda e^{\lambda b}}=0\\ & \\ & \underset{b\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\lambda }=\frac{1}{\lambda }\end{array}$$

Дисперсия

$$Var\xi =\frac{1}{{\lambda }^2}$$

Доказательство

По свойству дисперсии

$$Var\xi =E{\xi }^2-(E\xi {)}^2$$

Найдём математическое ожидание квадрата

$$\begin{array}{rl}& E{\xi }^2={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^2{f}_{\xi }(x)dx={\int }_0^{+\infty }{x}^2\cdot \lambda e^{-\lambda x}dx=\underset{b\to +\infty }{\lim }\lambda {\int }_0^b{x}^2{e}^{-\lambda x}dx=\\ & \left[\begin{array}{ll}u=x^2& du=2xdx\\ dv=e^{-\lambda x}dx& v=-\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda x}\end{array}\right]=\underset{b\to +\infty }{\lim }\lambda \left({x^2\cdot \left(-\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda x}\right)|}_0^b+\frac{2}{\lambda }{\int }_0^{b}x{e}^{-\lambda x}dx\right)=\\ & =\underset{b\to +\infty }{\lim }\left(-b^2{e}^{-\lambda b}+2{\int }_0^{b}x{e}^{-\lambda x}dx\right)\boxed{=}\end{array}$$

Разобьем предел на сумму пределов и посмотрим чему они равны. Первый предел

$$\underset{b\to +\infty }{\lim }{b}^2{e}^{-\lambda b}=[\infty \cdot 0]=\underset{b\to +\infty }{\lim }\frac{b^2}{e^{\lambda b}}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right]=\underset{b\to +\infty }{\lim }\frac{2b}{\lambda e^{\lambda b}}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right]=\underset{b\to +\infty }{\lim }\frac{2}{{\lambda }^2{e}^{\lambda b}}=0$$

Второй предел уже был найден когда мы искали обычное мат ожидание, но в другом виде

$$\begin{array}{rl}& \\ & E\xi =\lambda \underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_0^{b}x{e}^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda }\\ & 2\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_0^{b}x{e}^{-\lambda x}dx=\frac{2}{{\lambda }^2}\end{array}$$

Неопределённостей нет, а значит

$$\boxed{=}\left(0+\frac{2}{{\lambda }^2}\right)=\frac{2}{{\lambda }^2}$$

Подставим найденные значения

$$Var\xi =\frac{2}{{\lambda }^2}-{\left(\frac{1}{\lambda }\right)}^2=\frac{1}{{\lambda }^2}$$