Нормальное распределение

Видео

Подробнее изучить тему можно в видео на YouTube

Нормальный закон распределения

Случайная величина $\xi$ соответствует распределению $N(a,{\sigma }^2)$ c параметрами $a\in \mathbf{R}$ и ${\sigma }^2(\sigma >0)$ если её плотность:

$$f_{\xi }(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

График плотности нормального распределения для $a=2$ и $\sigma =\frac{1}{2}$

Точки перегиба функции плотности

Точками перегиба функции плотности распределения являются

$$x=a\pm \sigma$$

Доказательство

Точки перегиба находятся в местах где

$$f^{\prime \prime }(x)=0$$

Найдем первую, а затем вторую производную

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2{\sigma }^2}}\cdot \left(-\frac{2(x-a)}{2{\sigma }^2}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }^3}{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2{\sigma }^2}}\cdot (x-a)$$ $$\begin{array}{rl}& f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }^3}\left(e^{-\frac{(x-a{)}^2}{2{\sigma }^2}}\left(-\frac{2(x-a)}{2{\sigma }^2}\right)\cdot (x-a)+1\cdot e^{-\frac{(x-a{)}^2}{2{\sigma }^2}}\right)\\ & =-\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }^5}{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2{\sigma }^2}}\left(-(x-a{)}^2+{\sigma }^2\right)\end{array}$$

Приравняв к $0$ заметим, что экспонента не может быть равна 0, как и константа перед ней.

$$\begin{array}{rl}& \left(-(x-a{)}^2\right)+{\sigma }^2=0\\ & (x-a{)}^2={\sigma }^2\\ & |x-a|=\sigma \end{array}$$

Раскрытие модуля дает два возможных уравнения:

$$\begin{array}{rl}& x-a=\sigma ⟹x=a+\sigma \\ & x-a=-\sigma ⟹x=a-\sigma \end{array}$$

Функция распределения является неберущимся интегралом

$${\mathcal{F}}_{\xi }(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{(t-a{)}^2}{2{\sigma }^2}}dt$$

График функции нормального распределения для $a=2$ и $\sigma =\frac{1}{2}$

Математическое ожидание

$$E\xi =a$$

Доказательство

$$\begin{array}{rl}& E\xi ={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\cdot f(x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2{\sigma }^2}}dx=\\ & =\left[\begin{array}{l}\frac{x-a}{\sigma }=t\\ x-a=\sigma t\\ x=a+\sigma t\\ dx=\sigma dt\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\cdot {\int }_{-\infty }^{+\infty }(a+\sigma t)\cdot e^{-\frac{t^2}{2}}\cdot \sigma dt=\\ & =\frac{a}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt+\frac{\sigma }{\sqrt{2\pi }}\underset{\text{неч}}{\underbrace{{\int }_{-\infty }^{+\infty }\underset{\text{неч}}{\underbrace{t}}\cdot \underset{\text{чет}}{\underbrace{e^{-\frac{t^2}{2}}}}dt}}\boxed{=}\end{array}$$

Заметим, что первый интеграл является функцией Гаусса, который на отрезке $(-\infty ,\infty )$ равен $1$. Второй интеграл берётся от нечётной функции на всей прямой, положительная и отрицательная часть складываются и дают в сумме $0$. Получаем

$$\boxed{=}a\cdot 1+\frac{\sigma }{\sqrt{2\pi }}\cdot 0=a$$

Дисперсия

$$Var\xi ={\sigma }^2$$

Доказательство

Посчитаем по определению

$$\begin{array}{rl}& var\xi ={\int }_{-\infty }^{+\infty }(x-E\xi {)}^{2}f(x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }(x-a{)}^2\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2{\sigma }^2}}dx=\left[\begin{array}{l}\frac{x-a}{\sigma }=t\\ x=a+\sigma t\\ dx=\sigma dt\end{array}\right]=\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\cdot {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\sigma }^2{t}^2\cdot e^{-\frac{t^2}{2}}\cdot \sigma dt=\frac{{\sigma }^2}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\underset{\text{чет}}{\underbrace{\underset{\text{чет}}{\underbrace{t^2}}\cdot \underset{\text{чет}}{\underbrace{e^{-\frac{t^2}{2}}}}}}dt\boxed{=}\end{array}$$

Заметим, что подынтегральная функция четная , а значит ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=2{\int }_0^{\infty }f(x)dx$

$$\begin{array}{rl}& \boxed{=}\frac{2{\sigma }^2}{\sqrt{2\pi }}{\int }_0^{+\infty }t\cdot t{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt=\left[\begin{array}{ll}u=t& du=dt\\ dv=t{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt& v=\int t{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt=-e^{-\frac{t^2}{2}}\end{array}\right]=\\ & =\frac{2{\sigma }^2}{\sqrt{2\pi }}\underset{b\to +\infty }{\lim }\left(-t{e}^{-\frac{t^2}{2}}{|}_0^b+{\int }_0^b{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt\right)=\frac{2{\sigma }^2}{\sqrt{2\pi }}\underset{b\to +\infty }{\lim }\left(\underset{\to 0}{\underbrace{-b{e}^{-\frac{b^2}{2}}}}+{\int }_0^b{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt\right)=\\ & =\frac{2{\sigma }^2}{\sqrt{2\pi }}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt\stackrel{\text{четность}}{=}{\sigma }^2\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{\text{ Функция Гаусса}}{\underbrace{{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt}}={\sigma }^2\cdot 1={\sigma }^2\end{array}$$