Стандартное нормальное распределение

Стандартный нормальный закон распределения (нормированный)

Нормально распределённая случайная величина $\xi$ называется стандартной если $\xi \sim N(0,1)$.
В таком случае плотность будет функцией Гаусса

$$f_{\xi }(x)=\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$

Функция распределения это неберущийся интеграл

$${\mathcal{F}}_{\xi }(x)=\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$$

Связь с функцией Лапласа

$$\Phi (x)=\frac{1}{2}+{\Phi }_0(x)$$

Доказательство

Разобьем $\Phi (x)$ на два отрезка и воспользуемся свойствами функции Лапласа

$$\begin{array}{rl}& \Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-t^2/2}dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^0{e}^{-t^2/2}dt+\underset{{\Phi }_0(x)}{\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^2/2}dt}}=\\ & -\underset{{\Phi }_0(-\infty )=-{\Phi }_0(+\infty )=-\frac{1}{2}}{\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_0^{-\infty }{e}^{-t^2/2}dt}}+{\Phi }_0(x)=\frac{1}{2}+{\Phi }_0(x)\end{array}$$