Пример точечной оценки

Оценка вероятности успеха

Пусть $p=P(A)$ – вероятность успеха, $q=P(\bar{A})=1-p$ – вероятность неудачи. В одном эксперименте получаем случайную величину $X$ – количество успехов в одном испытании, что соответствует распределению Бернулли.

$$\begin{array}{ccc}{x}_k& 0& 1\\ p_k& q& p\end{array}$$ $$EX=p,VarX=pq$$

Возьмем в качестве оценки параметра $p$ среднее арифметическое количества успехов в $n$ испытаниях.

$${\hat{\theta }}_n=\frac{1}{n}(X_1+\cdots +X_n)$$

Проверка свойств оценки

Тогда вычисляем математическое ожидание:

$$E{\hat{\theta }}_n=E\left(\frac{1}{n}(X_1+\cdots +X_n)\right)=\frac{1}{n}nE{X}_k=p$$

Оценка несмещенная.

Вычисляем дисперсию:

$$Var{\hat{\theta }}_n=Var\left(\frac{1}{n}(X_1+\cdots +X_n)\right)=\frac{1}{n^2}nVar{X}_k=\frac{pq}{n}\stackrel{n\to \infty }{\to }0$$

Так как дисперсия стремится к нулю, то выполняется достаточное условие состоятельности, оценка состоятельная.