4. Случайные величины

Случайные величины

1-Случайная величина

Случайная величина

Случайной величиной (СВ) $\xi$ на вероятностном пространстве называется отображение $\xi =\xi (\omega )$ из множества элементарных исходов $\Omega \to \mathbf{R}$

С интуитивной точки зрения, это величина, которая в результате испытания примет одно и только одно вещественное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин

Пример распределения СВ

Распределение СВ лучше всего записывать таблицей. Рассмотрим на примере орла и решки.

$x_i$	0 (решка)	1 (орел)
$p_i$	1/2	1/2

Вероятности двух элементарных исходов образуют полную группу $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. Каждому исходу сопоставлено вещественное значение, $0$ для решки и $1$ для орла.

Ссылка на оригинал

Функция распределения

2-Функция распределения

Функция распределения

Функция распределения – универсальная характеристика случайной величины определяющая вероятность того, что значение функции $\xi$ в результате испытания окажется меньше какого-то вещественного числа $t$

$${\mathcal{F}}_{\xi }(t)=P\{\xi <t\}$$

Ссылка на оригинал

Свойства функции распределения

3-Свойства функции распределения

Ограниченность функции

$$0\le {\mathcal{F}}_{\xi }(t)\le 1$$

Следует из определения вероятности

Монотонность возрастания функции

$$t_1<t_2⟹{\mathcal{F}}_{\xi }(t_1)\le {\mathcal{F}}_{\xi }(t_2)$$

Доказательство

${\mathcal{F}}_{\xi }(t_1)=P\{\xi <t_1\}$
${\mathcal{F}}_{\xi }(t_2)=P\{\xi <t_2\}$

$\{\xi <t_1\}\subset \{\xi <t_2\}⟹\underset{\mathcal{F}(t_1)}{\underbrace{P\{\xi <t_1\}}}\le \underset{\mathcal{F}(t_2)}{\underbrace{P\{\xi <t_2\}}}$

Свойство функции

$$\underset{t\to -\infty }{\lim }{\mathcal{F}}_{\xi }(t)=0{\mathcal{F}}_{\xi }(-\infty )=0$$

Доказательство

По определению вероятность не может быть отрицательной

$${\mathcal{F}}_{\xi }(-\infty )=P\{\xi <-\infty \}=P\{\varnothing \}=0$$

Свойство функции

$$\underset{t\to +\infty }{\lim }{\mathcal{F}}_{\xi }(t)=1{\mathcal{F}}_{\xi }(+\infty )=1$$

Доказательство

По определению вероятность содержащая всё пространство элементарных исходов равна $1$

$${\mathcal{F}}_{\xi }(+\infty )=P\{\xi <+\infty \}=P(\Omega )=1$$

Вероятность попадания СВ в промежуток через функцию распределения

$$P\{a\le \xi <b\}={\mathcal{F}}_{\xi }(b)-{\mathcal{F}}_{\xi }(a)$$

Доказательство

Значения строго левее $a$ – это событие $\{\xi <a\}$.
Значения от $a$ (включая саму точку $a$) до $b$ – это событие $\{a\le \xi <b\}$.

Поскольку эти две области покрывают все пространство левее $b$ и не имеют общих точек, мы можем записать событие $\xi <b$ как объединение: $\{\xi <b\}=\{\xi <a\}\cup \{a\le \xi <b\}$.

События $\{\xi <a\}$ и $\{a\le \xi <b\}$ являются несовместными. Их сумма равна

$$P\{\xi <b\}=P\{\xi <a\}+P\{a\le \xi <b\}$$

По определению функции распределения получаем

$${\mathcal{F}}_{\xi }(b)={\mathcal{F}}_{\xi }(a)+P\{a\le \xi <b\}$$

Переносим ${\mathcal{F}}_{\xi }(a)$ влево и получаем требуемое

$$P\{a\le \xi <b\}={\mathcal{F}}_{\xi }(b)-{\mathcal{F}}_{\xi }(a)$$

Ссылка на оригинал

Виды случайных величин

Дискретная случайная величина (ДСВ)

4-Дискретная случайная величина

ДСВ

Дискретная случайная величина (ДСВ) – случайная величина, у которой функция распределения имеет ступенчатый вид и скачки происходят в точках $\{x_i\}$ на величину $\{p_i\}$, где $i=1\dots .n$

$${\mathcal{F}}_{\xi }(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t\le x_1\\ p_1,& t\in (x_1;x_2]\\ p_1+p_2,& t\in (x_2;x_3]\\ ⋮& \\ p_1+p_2+\cdots +p_n=1,& t>x_n\end{array}$$

Принимает значения $\{x_i\}$ с вероятностями $\{p_i\}$:

$$\xi \sim \{x_i,p_{{}_i}\}$$

Пример

Студент имеет 3 попытки сдать экзамен. Вероятность сдать с первой попытки $0,8$ с каждой следующей попыткой вероятность уменьшается вдвое. Найти вероятности появления студента на экзамене для каждой попытки (все случайные величины $\xi$).

Решение

Таблица распределения случайной величины $\xi$:

$x_i$​	1	2	3
$p_i$	$0,8$	$0,08$	$0,12$

Будем считать, что студент приходит на экзамен повторно в том случае, если не сдал в первый раз. Ровно один раз он придет с вероятностью $0,8$ остальные считаем по свойству вероятности для противоположного события:

$$\begin{array}{rl}& p_1=\underset{\text{ровно 1 раз}}{\underbrace{P\{\xi =1\}}}=0,8\\ & p_2=P\{\xi =2\}=0,2\cdot 0,4=0,08\\ & p_3=P\{\xi =3\}=0,2\cdot 0,6=0,12\end{array}$$

В $p_3$ мы не считали шанс того что он сдаст экзамен, так как нам это не важно, на экзамен он придет в обоих случаях.

Ссылка на оригинал

Непрерывная случайная величина (НСВ)

5-Непрерывная случайная величина и её плотность распределения

НСВ и плотность распределения

Непрерывная случайная величина (НСВ) – случайная величина, функция распределения которой может быть представлена как

$${\mathcal{F}}_{\xi }(t)={\int }_{-\infty }^t{f}_{\xi }(x)dx,$$

$f_{\xi }(x)$ – называется плотностью распределения

Ссылка на оригинал

Свойства плотности распределения

6-Свойства плотности распределения непрерывной случайно величины

Неотрицательность плотности

$f_{\xi }(x)\ge 0$

Свойство плотности

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{\xi }(x)dx=1$$

Доказательство

Распишем функцию распределения НСВ ${\mathcal{F}}_{\xi }(\infty )$, она по свойству функции распределения равна $1$:

$$\underset{t\to \infty }{\lim }{\mathcal{F}}_{\xi }(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{\xi }(x)dx=1$$

Плотность производная от функции распределения

$${\mathcal{F}}_{\xi }^{\prime }(x)=f_{\xi }(x)$$

Следует из определения

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

$$P\{a\le \xi <b\}={\int }_a^b{f}_{\xi }(x)dx$$

Доказательство

Распишем по доказанному свойству функции распределения

$$P\{a\le \xi <b\}={\mathcal{F}}_{\xi }(b)-{\mathcal{F}}_{\xi }(a)$$

Далее распишем определение функции распределения для НСВ и получим требуемое

$${\int }_{-\infty }^b{f}_{\xi }(x)dx-{\int }_{-\infty }^a{f}_{\xi }(x)dx={\int }_a^b{f}_{\xi }(x)dx$$

Ссылка на оригинал

Пример поиска плотности и функции распределения

7-Пример поиска плотности и функции распределения

Пример

На отрезок $[0,1]$ бросили точку. Случайная величина $\xi$ – координата этой точки. Найти ${\mathcal{F}}_{\xi }(t),f_{\xi }(t)$

Решение

Функция распределения ${\mathcal{F}}_{\xi }(t)$:

$${\mathcal{F}}_{\xi }(t)=P\{\xi <t\}=\{\begin{array}{ll}0,& t\le 0\\ t,& t\in (0;1]\\ 1,& t>1\end{array}$$

Плотность распределения $f_{\xi }(t)$ (как производная от функции распределения):

$$f_{\xi }(t)={\mathcal{F}}_{\xi }^{\prime }(t)=\{\begin{array}{ll}1,& t\in [0;1]\\ 0,& t\notin [0;1]\end{array}$$

Ссылка на оригинал

Непрерывный случайный вектор (НСВ)

Случайный вектор

8-Случайный вектор

Случайный вектор

Случайный вектор – упорядоченный набор случайных величины $\vec{\xi }=\{{\xi }_1,{\xi }_2\dots {\xi }_n\}$

Ссылка на оригинал

Функция распределения случайного вектора

9-Функция распределения случайного вектора

Функция распределения случайного вектора

Функция распределения случайного вектора

$${\mathcal{F}}_{\vec{\xi }}(\vec{t})=P\{{\xi }_1<t_1,{\xi }_2<t_2,\dots ,{\xi }_n<t_n\}$$

где $\vec{t}=(t_1,t_2\dots ,t_n)$

Свойства функции

Следуют из определения функции и аксиом вероятности

1. Ограниченность: $0\le {\mathcal{F}}_{\vec{\xi }}(\vec{t})\le 1$
2. ${\mathcal{F}}_{\vec{\xi }}(\vec{t})$ неубывающая по каждому аргументу
3. ${\lim }_{t_1,\dots ,tn\to +\infty }{\mathcal{F}}_{\vec{\xi }}(\vec{t})=1$
4. ${\lim }_{t_i\to -\infty }{\mathcal{F}}_{\vec{\xi }}(\vec{t})=0$

Свойство 5-6 опираются на то, что $\{\xi <+\infty \}$ это достоверное событие, а при пересечении событий с достоверным исходная вероятность не меняется

5. Поиск одной величины через устремление остальных к бесконечности: ${\mathcal{F}}_{{\xi }_1}(t_1)={\lim }_{(t_2,\dots ,t_n\to +\infty )}{\mathcal{F}}_{\vec{\xi }}(\vec{t})$

6. Исключение одной величины через устремление к бесконечности ${\mathcal{F}}_{{\xi }_1,\dots {\xi }_{n-1}}(t_1,\dots t_{n-1})={\lim }_{t_n\to +\infty }{\mathcal{F}}_{\vec{\xi }}(\vec{t})$

Ссылка на оригинал

Непрерывный случайный вектор (НСВ) и его плотность распределения

10-Непрерывный случайный вектор и его плотность распределения

Непрерывный случайный вектор (НСВ) и его плотность

Случайный вектор $\vec{\xi }=({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ называется непрерывным, если существует неотрицательная функция совместной плотности распределения $f_{\vec{\xi }}$, с помощью которой его совместная функция распределения представима в виде:

$${\mathcal{F}}_{\vec{\xi }}(\vec{t})={\int }_{-\infty }^{t_1}\cdots {\int }_{-\infty }^{t_n}{f}_{\vec{\xi }}(x_1,\dots x_n)d{x}_1\dots d{x}_n$$

Зачем вводится

Непрерывный случайный вектор используется для поиска вероятности совместного наступление сразу нескольких событий (например, и длина меньше $t_1$​, и ширина меньше $t_2$). Мы не путаем с НСВ (величиной), так как величина применяется для единичного случая. ​

Ссылка на оригинал

Свойства плотности распределения непрерывного случайного вектора

11- Свойства плотности распределения непрерывного случайного вектора

Неотрицательность плотности

$$f_{\bar{\xi }}(\bar{x})\ge 0$$

Условие нормировки совместной плотности

НСВ $\vec{\xi }\in$ линейному пространству ${\mathbf{R}}^n$ принимает хоть какое-нибудь значение из всех возможных, что является достоверным событием, вероятность которого равна $1$

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\cdots {\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{\bar{\xi }}(\bar{x})d\bar{x}=1$$

Нахождение плотности через функцию распределения

Поскольку функция распределения НСВ это интеграл, то найти плотность распределения можно взяв производную $n$-го порядка по всем переменным вектора

$$f_{\bar{\xi }}(\bar{x})=\frac{{\partial }^n{\mathcal{F}}_{\bar{\xi }}(\bar{x})}{\partial x_1\dots \partial x_n}$$

Вероятность попадания вектора в произвольную область

Вероятность по всей площади события $A$ это сумма всех кусочков плотности распределения НСВ на этой площади

$$P\{\bar{\xi }\in A\}=\int \cdots {\int }_A{f}_{\bar{\xi }}(\bar{x})d\bar{x}$$

Поиск плотности распределения составляющих

Плотность компоненты вектора можно найти проинтегрировав плотность по всем возможным значениям остальных компонент (от $-\infty$ до $+\infty$). В этом случае они станут достоверными событиями и их пересечение никак не изменит вероятность искомого события

$$f_{{\xi }_1}(x_1)=\underset{n-1}{\underbrace{{\int }_{-\infty }^{\infty }\cdots {\int }_{-\infty }^{\infty }}}{f}_{\bar{\xi }}(\bar{x})d{x}_2\dots d{x}_n$$

Ссылка на оригинал

---

Список использованных источников

Материал подготовлен на основе

1. Конспект лекций по ТВиМС от 04.03.2026. Лектор Литвинова В. В.
2. Бородин А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики : учебное пособие для вузов / А. Н. Бородин. — 10 е изд., стер. — Санкт Петербург : Лань, 2024. — 256 с. : ил. — Текст : непосредственный
3. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов / В. Е. Гмурман. – 12-е изд. –Москва: Издательство Юрайт, 2024. – 479 с. – (Высшее образование)
4. Нейросеть NotebookLM только для оформления