9-Функция распределения случайного вектора

Функция распределения случайного вектора

Функция распределения случайного вектора

$${\mathcal{F}}_{\vec{\xi }}(\vec{t})=P\{{\xi }_1<t_1,{\xi }_2<t_2,\dots ,{\xi }_n<t_n\}$$

где $\vec{t}=(t_1,t_2\dots ,t_n)$

Свойства функции

Следуют из определения функции и аксиом вероятности

1. Ограниченность: $0\le {\mathcal{F}}_{\vec{\xi }}(\vec{t})\le 1$
2. ${\mathcal{F}}_{\vec{\xi }}(\vec{t})$ неубывающая по каждому аргументу
3. ${\lim }_{t_1,\dots ,tn\to +\infty }{\mathcal{F}}_{\vec{\xi }}(\vec{t})=1$
4. ${\lim }_{t_i\to -\infty }{\mathcal{F}}_{\vec{\xi }}(\vec{t})=0$

Свойство 5-6 опираются на то, что $\{\xi <+\infty \}$ это достоверное событие, а при пересечении событий с достоверным исходная вероятность не меняется

5. Поиск одной величины через устремление остальных к бесконечности: ${\mathcal{F}}_{{\xi }_1}(t_1)={\lim }_{(t_2,\dots ,t_n\to +\infty )}{\mathcal{F}}_{\vec{\xi }}(\vec{t})$

6. Исключение одной величины через устремление к бесконечности ${\mathcal{F}}_{{\xi }_1,\dots {\xi }_{n-1}}(t_1,\dots t_{n-1})={\lim }_{t_n\to +\infty }{\mathcal{F}}_{\vec{\xi }}(\vec{t})$