11- Свойства плотности распределения непрерывного случайного вектора

Неотрицательность плотности

$$f_{\bar{\xi }}(\bar{x})\ge 0$$

Условие нормировки совместной плотности

НСВ $\vec{\xi }\in$ линейному пространству ${\mathbf{R}}^n$ принимает хоть какое-нибудь значение из всех возможных, что является достоверным событием, вероятность которого равна $1$

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\cdots {\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{\bar{\xi }}(\bar{x})d\bar{x}=1$$

Нахождение плотности через функцию распределения

Поскольку функция распределения НСВ это интеграл, то найти плотность распределения можно взяв производную $n$-го порядка по всем переменным вектора

$$f_{\bar{\xi }}(\bar{x})=\frac{{\partial }^n{\mathcal{F}}_{\bar{\xi }}(\bar{x})}{\partial x_1\dots \partial x_n}$$

Вероятность попадания вектора в произвольную область

Вероятность по всей площади события $A$ это сумма всех кусочков плотности распределения НСВ на этой площади

$$P\{\bar{\xi }\in A\}=\int \cdots {\int }_A{f}_{\bar{\xi }}(\bar{x})d\bar{x}$$

Поиск плотности распределения составляющих

Плотность компоненты вектора можно найти проинтегрировав плотность по всем возможным значениям остальных компонент (от $-\infty$ до $+\infty$). В этом случае они станут достоверными событиями и их пересечение никак не изменит вероятность искомого события

$$f_{{\xi }_1}(x_1)=\underset{n-1}{\underbrace{{\int }_{-\infty }^{\infty }\cdots {\int }_{-\infty }^{\infty }}}{f}_{\bar{\xi }}(\bar{x})d{x}_2\dots d{x}_n$$