3-Свойства функции распределения

Ограниченность функции

$$0\le {\mathcal{F}}_{\xi }(t)\le 1$$

Следует из определения вероятности

Монотонность возрастания функции

$$t_1<t_2⟹{\mathcal{F}}_{\xi }(t_1)\le {\mathcal{F}}_{\xi }(t_2)$$

Доказательство

${\mathcal{F}}_{\xi }(t_1)=P\{\xi <t_1\}$
${\mathcal{F}}_{\xi }(t_2)=P\{\xi <t_2\}$

$\{\xi <t_1\}\subset \{\xi <t_2\}⟹\underset{\mathcal{F}(t_1)}{\underbrace{P\{\xi <t_1\}}}\le \underset{\mathcal{F}(t_2)}{\underbrace{P\{\xi <t_2\}}}$

Свойство функции

$$\underset{t\to -\infty }{\lim }{\mathcal{F}}_{\xi }(t)=0{\mathcal{F}}_{\xi }(-\infty )=0$$

Доказательство

По определению вероятность не может быть отрицательной

$${\mathcal{F}}_{\xi }(-\infty )=P\{\xi <-\infty \}=P\{\varnothing \}=0$$

Свойство функции

$$\underset{t\to +\infty }{\lim }{\mathcal{F}}_{\xi }(t)=1{\mathcal{F}}_{\xi }(+\infty )=1$$

Доказательство

По определению вероятность содержащая всё пространство элементарных исходов равна $1$

$${\mathcal{F}}_{\xi }(+\infty )=P\{\xi <+\infty \}=P(\Omega )=1$$

Вероятность попадания СВ в промежуток через функцию распределения

$$P\{a\le \xi <b\}={\mathcal{F}}_{\xi }(b)-{\mathcal{F}}_{\xi }(a)$$

Доказательство

Значения строго левее $a$ – это событие $\{\xi <a\}$.
Значения от $a$ (включая саму точку $a$) до $b$ – это событие $\{a\le \xi <b\}$.

Поскольку эти две области покрывают все пространство левее $b$ и не имеют общих точек, мы можем записать событие $\xi <b$ как объединение: $\{\xi <b\}=\{\xi <a\}\cup \{a\le \xi <b\}$.

События $\{\xi <a\}$ и $\{a\le \xi <b\}$ являются несовместными. Их сумма равна

$$P\{\xi <b\}=P\{\xi <a\}+P\{a\le \xi <b\}$$

По определению функции распределения получаем

$${\mathcal{F}}_{\xi }(b)={\mathcal{F}}_{\xi }(a)+P\{a\le \xi <b\}$$

Переносим ${\mathcal{F}}_{\xi }(a)$ влево и получаем требуемое

$$P\{a\le \xi <b\}={\mathcal{F}}_{\xi }(b)-{\mathcal{F}}_{\xi }(a)$$