6-Свойства плотности распределения непрерывной случайно величины

Неотрицательность плотности

$f_{\xi }(x)\ge 0$

Свойство плотности

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{\xi }(x)dx=1$$

Доказательство

Распишем функцию распределения НСВ ${\mathcal{F}}_{\xi }(\infty )$, она по свойству функции распределения равна $1$:

$$\underset{t\to \infty }{\lim }{\mathcal{F}}_{\xi }(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{\xi }(x)dx=1$$

Плотность производная от функции распределения

$${\mathcal{F}}_{\xi }^{\prime }(x)=f_{\xi }(x)$$

Следует из определения

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

$$P\{a\le \xi <b\}={\int }_a^b{f}_{\xi }(x)dx$$

Доказательство

Распишем по доказанному свойству функции распределения

$$P\{a\le \xi <b\}={\mathcal{F}}_{\xi }(b)-{\mathcal{F}}_{\xi }(a)$$

Далее распишем определение функции распределения для НСВ и получим требуемое

$${\int }_{-\infty }^b{f}_{\xi }(x)dx-{\int }_{-\infty }^a{f}_{\xi }(x)dx={\int }_a^b{f}_{\xi }(x)dx$$