Определитель

Определитель

Пусть дана квадратная матрица $A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& \dots & a_{3n}\\ \dots & & & \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$

Определителем квадратной матрицы $A$ называется сумма всевозможных произведений её элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, и снабжённых знаком, т.е. $\det A=|A|=\sum a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot \mathrm{sign}\left(j_1,j_2,\dots ,j_n\right)$где $\mathrm{sign}\left(j_1,j_2,\dots ,j_n\right)=(-1{)}^k,k$ - количество инверсий в последовательности $j_1,j_2,\dots ,j_n$ номеров столбцов.

Здесь нумерация столбцов $j_1,j_2,\dots ,j_n$ подразумевает, что их номера заранее неизвестны. Известно лишь, что они разные.

Как считать определитель для матриц разного порядка

1. Рассмотрим, как это работает для простейших матриц - второго порядка.

$$\det A_{2\times 2}=\left|\begin{array}{ll}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}\cdot a_{22}\cdot (-1{)}^{inv(1,2)}+a_{21}\cdot a_{12}\cdot (-1{)}^{inv(2,1)}=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$

Здесь есть только два произведения элементов, взятых по одному из разных строк и столбцов, причём у первой пары сомножителей естественный порядок номеров строк и столбцов (т.е. инверсии отсутствуют), у второй пары есть инверсия по номерам столбцов, поэтому появляется знак ” $-$“.

2. Теперь рассмотрим определитель третьего порядка. Здесь имеют место шесть произведений:

$$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{lcc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot (-1{)}^{inv(1,2,3)}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}\cdot (-1{)}^{inv(2,3,1)}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}\cdot (-1{)}^{inv(3,1,2)}\\ & +a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}\cdot (-1{)}^{inv(3,2,1)}+a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}\cdot (-1{)}^{inv(2,1,3)}+a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}\cdot (-1{)}^{inv(1,3,2)}=\\ & =a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32},\end{array}$$

Поскольку: $\mathrm{inv}(1,2,3)=0,\mathrm{inv}(2,3,1)=2,\mathrm{inv}(3,1,2)=2,\mathrm{inv}(3,2,1)=3,\mathrm{inv}(2,1,3)=1,$
$\mathrm{inv}(1,3,2)=1$

Один из вариантов для запоминания:

$$\left|\begin{array}{lc}& \\ & a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\left|\begin{array}{lcc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\left|\begin{array}{lc}& \\ a_{21}& \\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$$

Циклически продлеваем вторую строку на один элемент влево и вправо, и третью строку на два элемента влево и вправо. Произведения, начинающиеся с элементов первой строки, вдоль главной диагонали (направо вниз) будут иметь знак ” + ”, произведения вдоль побочной диагонали (налево вниз) - знак ” - “.

Пример

$$\left|\begin{array}{lcc}-2& 0& 3\\ 5& 4& -1\\ 2& 3& 5\end{array}\right|=((-2)\cdot 4\cdot 5+0\cdot (-1)\cdot 2+3\cdot 5\cdot 3)-(3\cdot 4\cdot 2+0\cdot 5\cdot 5+(-2)\cdot (-1)\cdot 3)=-30$$

матрица