Теорема. Определитель и ранг матрицы

Теорема

Определитель не равен нулю тогда и только тогда когда ранг матрицы равен её размеру

$$\det A_{n\times n}\ne 0⟺\mathrm{rank}A=n$$

Доказательство

Если бы у матрицы $A$ были линейно зависимые строки, её Определительбыл бы равен нулю. Следовательно, $\det A$ и есть Базисный минор, а значит, $\mathrm{rank}A=n$.

Обратно по определению ранга.

Общее следствие

Ранг матрицы можно рассматривать как максимальное количество линейно независимых строк (и столбцов) матрицы. Очевидно, что входящие в Базисный минор строки (столбцы) линейно независимы, иначе он был бы равен нулю. Больше он также быть не может, иначе нашёлся бы ненулевой Минор большего порядка (обобщение теоремы обопределители и линейной зависимости). Также отметим, что ранг по строкам и столбцам это всегда одно и то же число.

матрица