Свойства векторного произведения

1. $\bar{a}\times \bar{a}=\overline{0}$

2. $(\bar{a}\times \bar{b})=-(\bar{b}\times \bar{a})$

3. $\lambda \bar{a}\times \bar{b}=\lambda (\bar{a}\times \bar{b})=\bar{a}\times \lambda \bar{b}$

4. $|\bar{a}\times \bar{b}|=S_{ab}$, где $S_{ab}$ - площадь параллелограмма, построенного на векторах $\bar{a}$ и $\bar{b}$

5. $(\bar{a}+\bar{b})\times \bar{c}=\bar{a}\times \bar{c}+\bar{b}\times \bar{c}$

   Первые четыре свойства следуют непосредственно из определения. Данное свойство оставим без доказательства.

6. $\bar{a}\times \bar{b}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_a& y_a& z_a\\ x_b& y_b& z_b\end{array}\right|$

   Доказательство

Докажем свойство. Для этого построим таблицу векторного умножения ортов осей и разложим векторы на составляющие.

$\times$	$\bar{i}$	$\bar{j}$	$\bar{k}$
$\bar{i}$	$\overline{0}$	$\bar{k}$	$-\bar{j}$
$\bar{j}$	$-\bar{k}$	$\overline{0}$	$\bar{i}$
$\bar{k}$	$\bar{j}$	$-\bar{i}$	$\overline{0}$

Далее, $\bar{a}\times \bar{b}=\left(x_a\bar{i}+y_a\bar{j}+z_a\bar{k}\right)\times \left(x_b\bar{i}+y_b\bar{j}+z_b\bar{k}\right)=$
$=\bar{i}\left(y_a{z}_b-z_a{y}_b\right)+\bar{j}\left(x_b{z}_a-x_a{z}_b\right)+\bar{k}\left(x_a{y}_b-x_b{y}_a\right)$
Последнее выражение представляет собой разложение представленного выше определителя по первой строке.

Пример

Найти Векторное произведение, построенное на векторах $\overline{a_1}=(1,1,-2)$ и $\overline{a_2}=(1,3,-1)$

$$\overline{a_1}\times \overline{a_2}=\left|\begin{array}{ccc}\bar{i}& \bar{j}& \bar{k}\\ 1& 1& -2\\ 1& 3& -1\end{array}\right|=\bar{i}(-1+6)-\bar{j}(-1+2)+\bar{k}(3-1)=5i-j+2k=(5,-1,2)$$

вектор