Теорема. Связь алгебраического дополнения и дополнительного минора

Теорема

Связь алгебраического дополнения и дополнительного минора:

$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

Доказательство

• Сначала пусть $i=j=1$.
  Рассмотрим все слагаемые с $a_{11}$ : $\sum a_{11}\cdot a_{2j_2}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot (-1{)}^{inv\left(1,j_2,\dots ,j_n\right)}=a_{11}\sum a_{2j_2}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot (-1{)}^{inv\left(j_2,\dots ,j_n\right)}$

  Таким образом, $A_{11}={\sum }_{j_k\ne 1}{a}_{2j_2}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n}\cdot (-1{)}^{inv\left(j_2,\dots ,j_n\right)}$, что, по определению дополнительного минора, равно $M_{11}=(-1{)}^{1+1}{M}_{11}$.

• Теперь пусть $i,j$ - произвольные индексы.
  При перестановке строк (или столбцов)алгебраические дополнения всех элементов меняют знак (почему?).
  Рассмотрим $A_{ij}$. Будем переставлять строки так, чтобы элемент $a_{ij}$ оказался в первой строке. Для этого необходимо совершить $i-1$ перестановку. В итоге матрица примет вид:

  $$\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{i1}& \dots & a_{ij}& \dots & a_{in}\\ a_{11}& \dots & a_{1j}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& \dots & a_{2j}& \dots & a_{2n}\\ \dots & & & & \\ a_{(i-1)1}& \dots & a_{(i-1)j}& \dots & a_{(i-1)n}\\ a_{(i+1)1}& \dots & a_{(i+1)j}& \dots & a_{(i+1)n}\\ \dots & & & & \\ a_{m1}& \dots & a_{mj}& \dots & a_{mn}\end{array}\right|$$

  Теперь переставим столбцы так, чтобы $j$-й встал на первое место. Для этого необходимо совершить $j-1$ перестановку. В итоге матрица примет вид:

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{ij}& a_{i1}& \dots & a_{in}\\ a_{1j}& a_{11}& \dots & a_{1n}\\ a_{2j}& a_{21}& \dots & a_{2n}\\ \dots & & & \\ a_{(i-1)j}& a_{(i-1)1}& \dots & a_{(i-1)n}\\ a_{(i+1)j}& a_{(i+1)1}& \dots & a_{(i+1)n}\\ \dots & & & \\ a_{mj}& a_{m1}& \dots & a_{mn}\end{array}\right|$$

В итоге алгебраическое дополнение $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$ поменяло знак $i+j-2$ раза. Теперь оно равно $A_{ij}\cdot (-1{)}^{i+j-2}=A_{ij}\cdot (-1{)}^{i+j}$.

С другой стороны, благодаря предыдущему случаю, оно равно минору первого элемента:

$$A_{ij}\cdot (-1{)}^{i+j}=M_{ij}⟺A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

Теорема доказана.

Вывод: мы получили, что определитель любой матрицы можно разложить по любой строке (столбцу) с использованием алгебраических дополнений.

Пример разложения определителя матрицы

$$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{cccc}-3& 5& 4& -6\\ 2& 0& -4& 3\\ 3& 2& -2& 5\\ 4& -1& 5& -2\end{array}\right|=\\ & \\ & =2\cdot (-1{)}^{2+1}\cdot \left|\begin{array}{ccc}5& 4& -6\\ 2& -2& 5\\ -1& 5& -2\end{array}\right|+0+(-4)\cdot (-1{)}^{2+3}\left|\begin{array}{ccc}-3& 5& -6\\ 3& 2& 5\\ 4& -1& -2\end{array}\right|+3\cdot (-1{)}^{2+4}\cdot \left|\begin{array}{ccc}-3& 5& 4\\ 3& 2& -2\\ 4& -1& 5\end{array}\right|=\\ & \\ & =-2\cdot \left(5\cdot (-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}-2& 5\\ 5& -2\end{array}\right|+4\cdot (-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ -1& -2\end{array}\right|+(-6)\cdot (-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}2& -2\\ -1& 5\end{array}\right|\right)+\\ & \\ & +4\cdot \left((-3)\cdot (-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ -1& -2\end{array}\right|+5\cdot (-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}3& 5\\ 4& -2\end{array}\right|+(-6)\cdot (-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& -1\end{array}\right|\right)+\\ & \\ & +3\cdot \left((-3)\cdot (-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}2& -2\\ -1& 5\end{array}\right|+5\cdot (-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 4& 5\end{array}\right|+4\cdot (-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& -1\end{array}\right|\right)=\\ & \\ & =(-2)\cdot (5\cdot (4-25)-4\cdot (-4+5)-6\cdot (10-2))+4\cdot (-3\cdot (-4+5)-5\cdot (-6-20)-6\cdot (-3-8))+\\ & \\ & +3\cdot (-3\cdot (10-2)-5\cdot (15+8)+4\cdot (-3-8))=537\end{array}$$

матрица