Определитель Вандермонда

Def. Рассмотрим определитель, у которого первый столбец состоит из единиц, второй - из произвольных чисел $x_1,x_2,\dots ,x_n$, третий - из квадратов этих чисел, и так далее до последнего столбца, состоящего из ( $n-1$ )-х степеней чисел. Такой определитель называется определителем Вандермонда:

$$\left|\begin{array}{ccccc}1& x_1& x_1^2& \dots & x_1^{n-1}\\ 1& x_2& x_2^2& \dots & x_2^{n-1}\\ \dots & & & & \\ 1& x_n& x_n^2& \dots & x_n^{n-1}\end{array}\right|=V\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)$$

Вычислим его

1. Сначала умножим каждый предыдущий столбец на $x_1$ и вычтем его из следующего столбца:

$$\left|\begin{array}{ccccc}1& x_1& x_1^2& \dots & x_1^{n-1}\\ 1& x_2& x_2^2& \dots & x_2^{n-1}\\ \dots & & & & \\ 1& x_n& x_n^2& \dots & x_n^{n-1}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \dots & 0\\ 1& x_2-x_1& x_2^2-x_1{x}_2& \dots & x_2^{n-1}-x_1{x}_2^{n-2}\\ \dots & & & & \\ 1& x_n-x_1& x_n^2-x_1{x}_n& \dots & x_n^{n-1}-x_1{x}_n^{n-2}\end{array}\right|$$

2. Разложим по первой строке методом алгебраических дополнений

$$1\cdot (-1{)}^{1+1}\cdot \left|\begin{array}{cccc}{x}_2-x_1& x_2^2-x_1{x}_2& \dots & x_2^{n-1}-x_1{x}_2^{n-2}\\ x_3-x_1& x_3^2-x_1{x}_3& \dots & x_3^{n-1}-x_1{x}_3^{n-2}\\ \dots & & & \\ x_n-x_1& x_n^2-x_1{x}_n& \dots & x_n^{n-1}-x_1{x}_n^{n-2}\end{array}\right|$$

3. Вынесем общий множитель вида $\left(x_k-x_1\right)$ из каждой строки $(k=2,\dots ,n)$

$$\left(x_2-x_1\right)\left(x_3-x_1\right)\cdot \dots \cdot \left(x_n-x_1\right)\cdot \left|\begin{array}{cccc}1& x_2& \dots & x_2^{n-2}\\ 1& x_3& \dots & x_3^{n-2}\\ \dots & & & \\ 1& x_n& \dots & x_n^{n-2}\end{array}\right|=\prod _{k=2}^n\left(x_k-x_1\right)\cdot \left|\begin{array}{cccc}1& x_2& \dots & x_2^{n-2}\\ 1& x_3& \dots & x_3^{n-2}\\ \dots & & & \\ 1& x_n& \dots & x_n^{n-2}\end{array}\right|$$

Таким образом, определитель Вандермонда $n$-го порядка выражен через определитель Вандермонда ( $n-1$ )-го порядка.

4. Повторим операцию для вычитания столбца с множителем $x_2$ :

$$V\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)=\prod _{k=2}^n\left(x_k-x_1\right)\cdot \prod _{l=3}^n\left(x_l-x_2\right)\cdot \left|\begin{array}{cccc}1& x_3& \dots & x_3^{n-3}\\ 1& x_4& \dots & x_4^{n-3}\\ \dots & & & \\ 1& x_n& \dots & x_n^{n-3}\end{array}\right|$$

5. Продолжая процесс, в результате получим:

$$V\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)=\prod _{x_k>x_l,l=1}^n\left(x_k-x_l\right)$$

Пример

Пример

$$\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 3& 9\\ 1& -4& 16\end{array}\right|=(3-(-1)\cdot (-4-(-1))\cdot (-4-3)=84$$

матрица