Инвариантное подпространство

Def. Подпространство $L_0$ называется инвариантным относительно линейного оператора $A$, если $\forall x\in L_{0}A\left(x_0\right)\in L_0$, иначе говоря, $A\left(L_0\right)\subseteq L_0$.
$A$ - Линейный оператор на $L$ и $L_0\le L$

Примеры

1. Тривиальные случаи: $\{\theta \}$ и само $L$

2. $A:V^3\to V^3$ — оператор поворота геометрического пространства векторов на угол $\varphi$ вокруг оси $Ox$

   Инвариантной является плоскость $Oyz$, перпендикулярная оси $Ox$

   Сама ось вращения является инвариантной, более того — неподвижной, так как при таком вращении все её точки остаются на месте, а значит и векторы

3. У оператора дифференцирования $D$, действующего на пространстве ${\mathbf{R}}^n[x]$, инвариантными являются все подпространства ${\mathbf{R}}^m[x]$ при $m\le n$

   При этом не будут инвариантными, например, подпространства $L_{x_0}$, состоящие из всех многочленов, имеющих корень $x_0$:
   $D(x-x_0)=1\notin L_{x_0}$

линейныйоператор