Вещественное евклидово пространство

Def. Евклидовым пространством будем называть вещественное Линейное пространство со скалярным произведением

Примеры

1. Известное пространство геометрических векторов $V^3$ с привычным скалярным произведением $(a,b)=|a|\cdot |b|\cdot \cos (\widehat{a,b})$
   Свойства из определения скалярного произведения были доказан. Собственно говоря, как произвольное линейное пространство можно рассматривать как обобщение пространства $V^3$, так и приведённое в начале лекции определение скалярного произведения является обобщением скалярного произведения в $V^3$.
2. ${\mathbf{R}}^n,a={\left(a_1,a_2,\dots ,a_n\right)}^T,b={\left(b_1,b_2,\dots ,b_n\right)}^T$
   $(a,b)=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\dots +a_n{b}_n$
   Такое Скалярное произведение в ${\mathbf{R}}^n$ считается стандартным.
3. В пространстве $F$ функций, непрерывных на отрезке $[a,b]$, можно задать Скалярное произведение следующим образом:
   $(f,g)={\int }_a^{b}f(x)\cdot g(x)dx$
   (выполнение свойств скалярного произведения проверьте самостоятельно)

евклидовопространство