Свойства скалярного произведения геометрических векторов

Большинство свойств следуют непосредственно из определения:

1. $\bar{a}\perp \bar{b}⟺(\bar{a},\bar{b})=0$
2. $(\bar{a},\bar{b})>0⟺\varphi \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)$
   $(\bar{a},\bar{b})<0⟺\varphi \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right]$
3. $(\bar{a},\bar{b})=(\bar{b},\bar{a})$
4. $(\lambda \bar{a},\bar{b})=\lambda (\bar{a},\bar{b})$
5. $\left(\bar{a},\overline{b_1}+\overline{b_2}\right)=\left(\bar{a},\overline{b_1}\right)+\left(\bar{a},\overline{b_2}\right)$

Доказательство

$\left(\bar{a},\overline{b_1}+\overline{b_2}\right)=|\bar{a}|\cdot \left(\left(\overline{b_1}+\overline{b_2}\right)\mid \cdot \cos (\widehat{\bar{a},\bar{b})}\right)=|\bar{a}|\cdot {\mathrm{Pr}}_{\bar{a}}\left(\overline{b_1}+\overline{b_2}\right)=|\bar{a}|\cdot {\mathrm{Pr}}_{\bar{a}}\overline{b_1}+$
$+|\bar{a}|\cdot {\mathrm{Pr}}_{\bar{a}}\overline{b_2}=|\bar{a}|\cdot \left|\overline{b_1}\right|\cdot \cos \left(\widehat{\bar{a},\bar{b_1}}\right)+|\bar{a}|\cdot \left|\overline{b_2}\right|\cdot \cos \left(\widehat{\bar{a},\bar{b_2}}\right)=\left(\bar{a},\overline{b_1}\right)+\left(\bar{a},\overline{b_2}\right)$
где ${\mathrm{Pr}}_{\bar{a}}\bar{b}$ - проекция вектора $\bar{b}$ на вектор $\bar{a}$

6. В прямоугольном базисе: $(\bar{a},\bar{b})=x_a{x}_b+y_a{y}_b+z_a{z}_b$

   Доказательство

Действительно, $(\bar{a},\bar{b})=\left(x_a\bar{i}+y_a\bar{j}+z_a\bar{k},x_b\bar{i}+y_b\bar{j}+z_b\bar{k}\right)$
Разложим это Скалярное произведение геометрических векторов в сумму девяти скалярных произведений, пользуясь свойством 5 , затем вынесем за скалярное произведение множители $x_m,y_l((m,t=1,2,3))$.
В итоге мы будем иметь скалярные произведения ортов $i,j,k$ с множителями: $\left(x_a\bar{i},x_b\bar{i}\right)+\left(x_a\bar{i},y_b\bar{j}\right)+\dots +\left(z_a\bar{k},z_b\bar{k}\right)=x_a{x}_b(\bar{i},\bar{i})+x_a{y}_b(\bar{i},\bar{j})+\dots +z_a{z}_b(\bar{k},\bar{k})$
Поскольку различные орты взаимно перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. В итоге останутся слагаемые: $x_a{x}_b(\bar{i},\bar{i})+y_a{y}_b(\bar{j},\bar{j})+z_a{z}_b(\bar{k},\bar{k})=x_a{x}_b\cdot 1+y_a{y}_b\cdot 1+z_a{z}_b\cdot 1$Таким образом, скалярное произведение двух векторов в прямоугольном базисе равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

Следствие Если $\bar{a}=(x,y,z)$, то $(\bar{a},\bar{a})=x^2+y^2+z^2$ Это означает, что квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату

Дополнение

Если Вектор $\bar{a}=(x,y,z)$ образует с координатными осями углы $\alpha ,\beta ,\gamma$ соответственно, то, зная длину вектора, можно выразить его координаты:

$$\begin{array}{rl}x& =|\bar{a}|\cos \alpha \\ y& =|\bar{a}|\cos \beta \\ z& =|\bar{a}|\cos \gamma \end{array}$$

В случае единичной длины будем иметь: ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$

вектор