Будем пользоваться правой декартовой системой координат:
Далее, пусть дана правая декартова система координат в пространстве. Возьмём
Обозначим орты осей через соответственно.
Отложим Представитель вектора от начала координат (помечен оранжевым) и опустим из его конца перпендикуляр на плоскость . Тогда вектор будет проекцией вектора (помечена синим). Представим проекцию диагональю параллелограмма со сторонами на осях , тогда мы сможем записать её в виде суммы векторов сторон параллелограмма:
Далее, вектор раскладывается как диагональ параллелограмма в сумму векторов и . В итоге получаем: При этом векторы называются составляющими вектора , а координаты точек называются координатами вектора .
Можно сказать, что координатами вектора являются его проекции на оси координат. Составляющие вектора можно выразить через его проекции (координаты): Следовательно,
Иначе говоря, - запись координат вектора.
Кроме того, из тех же прямоугольных треугольников следует, что