1. Билинейные и квадратичные формы

Билинейная форма

Билинейная форма в вещественном линейном пространстве

Билинейная форма в вещественном линейном пространстве

• Def. Билинейной формой в вещественном линейном пространстве $L$ называется Функция ¹ $B:L\times L\to \mathbf{R}$линейная по первому и по второму аргументу, т.е. $\forall x,y,z\in L,\forall \lambda ,\mu \in \mathbf{R}$ :
  1. $B(\lambda x+\mu y,z)=\lambda B(x,z)+\mu B(y,z)$;
  2. $B(x,\lambda y+\mu z)=\lambda B(x,y)+\mu B(x,z)$

Замечание

Каждое из свойств линейности билинейной формы можно расписать в виде двух свойств: линейности относительно сложения векторов и линейности относительно умножения вектора на число.

Пример 1

Скалярное произведение. Помимо стандартных свойств выполняются также симметричность и положительная определённость.

Пример 2

Билинейная форма линейного оператора.
Для линейного оператора $A$ в ортонормированном базисе задаём форму
$B(x,y)=(A(x),y)$:

$$\begin{array}{rl}& =(\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& & & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right))=\\ & =(\left(\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\dots +a_{nn}{x}_n\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right))=\\ & =((a_{11}{x}_1+\dots +a_{1n}{x}_n)y_1+\dots +(a_{n1}{x}_1+\dots +a_{nn}{x}_n)y_n)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_j{y}_i.\end{array}$$

Разным операторам соответствуют разные билинейные формы:
$(A(x),y)=(F(x),y)⟹(A(x)-F(x),y)=0⟹$
$⟹(A-F)(x)=0⟹A(x)=F(x)\forall x\in L$.
И наоборот, любая билинейная форма в ортонормированном базисе порождает Линейный оператор (матрица получается из коэффициентов $a_{ij}$).

В ${\mathbf{R}}^2$ форме
$3x_1{y}_1+2x_1{y}_2-x_2{y}_1+4x_2{y}_2$
соответствует оператор с матрицей
$A_e=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 4\end{array}\right).$

Кроме того,

=\sum_{j=1}^{n}\Bigl(\sum_{i=1}^{n}x_ja_{ij}\Bigr)y_i =\sum_{j=1}^{n}x_j\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{ij}y_i\Bigr) =(x_e,A_e^{T}y_e),$$ что показывает: [[Билинейная форма в вещественном линейном пространстве|билинейная форма]] порождает [[Сопряжённый оператор]].

билинейнаяиквадратичнаяформы

Footnotes

1. $L\times L$ - Декартово произведение множеств ↩

Ссылка на оригинал

---

Матрица билинейной формы

Матрица билинейной формы

Координатная запись билинейной формы

Зафиксируем векторы пространства $L$ в базисе $g_1,g_2,\dots ,g_n$.

Для $x=x_1{g}_1+x_2{g}_2+\dots +x_n{g}_n$ и $y=y_1{g}_1+y_2{g}_2+\dots +y_n{g}_n$ имеем

$$\begin{array}{rl}B(x,y)& =B(x_1{g}_1+x_2{g}_2+\dots +x_n{g}_n,y_1{g}_1+y_2{g}_2+\dots +y_n{g}_n)=\\ & =x_1{y}_{1}B(g_1,g_1)+\dots +x_1{y}_{n}B(g_1,g_n)+\\ & +x_2{y}_{1}B(g_2,g_1)+\dots +x_2{y}_{n}B(g_2,g_n)+\\ & ⋮\\ & +x_n{y}_{1}B(g_n,g_1)+\dots +x_n{y}_{n}B(g_n,g_n).\end{array}$$

Если обозначить $B(g_i,g_j)$ через $b_{ij}$, то

$$B(x,y)=(b_{11}{x}_1{y}_1+\dots +b_{1n}{x}_1{y}_n)+\dots +(b_{n1}{x}_n{y}_1+\dots +b_{nn}{x}_n{y}_n)=\sum _{i,j=1}^n{b}_{ij}{x}_i{y}_j.$$

Обратите внимание: первый индекс $b_{ij}$ соответствует $x_i$, второй — $y_j$.

Def. Матрицей билинейной формы в базисе $g_1,g_2,\dots ,g_n$ называется матрица

$$B_g=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ ⋮& & & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \dots & b_{nn}\end{array}\right),$$

где $b_{ij}=B(g_i,g_j)$.

Используя эту матрицу, форму можно записать как

$$B(x,y)=x_g{B}_g{y}_g^T,$$

где $x_g=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$,
$y_g=(y_1,y_2,\dots ,y_n{)}^T$.

Матрица формы в новом базисе

В ${\mathbf{R}}^2$ задана билинейная форма $B(x,y)=x_1{y}_1+3x_1{y}_2-3x_2{y}_2.$
Найдём её матрицу в базисе $g_1=(1,1{)}^T,g_2=(-1,1{)}^T$.

B(g_{1},g_{1})&=1,\\ B(g_{1},g_{2})&=-1,\\ B(g_{2},g_{1})&=-7,\\ B(g_{2},g_{2})&=-5. \end{aligned}$$ $$B_{g}=\begin{pmatrix}1&-1\\-7&-5\end{pmatrix}$$ Поэтому $$B(x,y)_{g}=x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-7x_{2}y_{1}-5x_{2}y_{2}.$$

Форма по заданной матрице

В некотором базисе $g$ пространства ${\mathbf{R}}^3$ задана матрица
$B_g=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 3& 4& -1\\ -4& 0& 0\end{array}\right).$
Полагая $b_{ij}=B(g_i,g_j)$, получаем форму
$B(x,y)=x_1{y}_1-x_1{y}_2-x_1{y}_3+3x_2{y}_1+4x_2{y}_2-x_2{y}_3-4x_3{y}_1,$
где $x=(x_1,x_2,x_3{)}^T,y=(y_1,y_2,y_3{)}^T$ — координаты в том же базисе.

билинейнаяиквадратичнаяформы

Ссылка на оригинал

---

Теорема 1. Смена базиса для матрицы билинейной формы

Теорема. Смена базиса для матрицы билинейной формы

Рассмотрим два базиса пространства $L$: $g_1,g_2,\dots ,g_n$ и $f_1,f_2,\dots ,f_n$.
Билинейная форма $B(x,y)$ не зависит от выбора базиса; от базиса зависит лишь её координатная запись после разложения векторов $x$ и $y$.

Теорема

Матрицы билинейной формы $B(x,y)$ в базисах $g_1,\dots ,g_n$ и $f_1,\dots ,f_n$ связаны соотношением
$B_f=C_{g\to f}^T{B}_g{C}_{g\to f}.$

Доказательство

Пусть

=x_{1}^{f}f_{1}+\ldots+x_{n}^{f}f_{n},$$ $$y=y_{1}^{g}g_{1}+\ldots+y_{n}^{g}g_{n} =y_{1}^{f}f_{1}+\ldots+y_{n}^{f}f_{n}.$$ Тогда, по определению [[Матрица билинейной формы|матриц формы]], $$B(x,y)=x_{g}\,B_{g}\,y_{g}^{T}=x_{f}\,B_{f}\,y_{f}^{T}.$$ [[Столбец координат вектора|Координаты]] и строки связаны [[Теорема. Связь столбца координат в двух базисах (Матрица перехода)|матрицей перехода]] $C_{g\to f}$: $$x_{g}^{T}=C_{g\to f}\,x_{f}^{T},\qquad y_{g}^{T}=C_{g\to f}\,y_{f}^{T},\qquad x_{g}=x_{f}\,C_{g\to f}^{T}.$$ Подставляя их, получаем $$\begin{aligned} x_{g}B_{g}y_{g}^{T} &=x_{f}\,C_{g\to f}^{T}B_{g}C_{g\to f}\,y_{f}^{T},\\ x_{f}B_{f}y_{f}^{T} &=x_{f}\,C_{g\to f}^{T}B_{g}C_{g\to f}\,y_{f}^{T}. \end{aligned}$$ Так как равенство верно для всех $x_{f},y_{f}$, заключаем [^1] $$\boxed{\,B_{f}=C_{g\to f}^{T}B_{g}C_{g\to f}\,}.$$

билинейнаяиквадратичнаяформы

Ссылка на оригинал

---

Квадратичная форма

Симметричная билинейная форма

Симметричная билинейная форма

Def. Если для билинейной формы выполнено $B(x,y)=B(y,x)$ для любых $x,y\in L$, то такая билинейная форма называется симметричной.

билинейнаяиквадратичнаяформы

Ссылка на оригинал

---

Квадратичная форма

Квадратичная форма

Def. Квадратичной формой называется функция $Q:L⟶\mathbf{R}$, такая что $Q(x)=B(x,x)$ для некоторой симметричной билинейной формы $B(x,y)$.
Иначе говоря, это симметричная билинейная форма при $x=y$.

Поляризационная формула

По квадратичной форме $Q$ можно восстановить симметричную билинейную форму, из которой она получена:

B(x, y)=\frac{1}{2}(B(x+y, x+y)-B(x, x)-B(y, y))=\frac{1}{2}(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))

Замечание 1. Матрица квадратичной формы

Квадратичную форму можно рассматривать как многочлен второй степени от $n$ переменных. В фиксированном базисе

$$\begin{array}{rl}Q(x)=B(x,x)=& q_{11}{x}_1^2+q_{12}{x}_1{x}_2+\dots +q_{1n}{x}_1{x}_n\\ & +q_{21}{x}_2{x}_1+q_{22}{x}_2^2+\dots +q_{2n}{x}_2{x}_n\\ & ⋮\\ & +q_{n1}{x}_n{x}_1+\dots +q_{nn}{x}_n^2=\sum _{i,j=1}^n{q}_{ij}{x}_i{x}_j.\end{array}$$

Поскольку $Q$ симметрична, то $q_{ij}=B\left(g_i,g_j\right)=B\left(g_j,g_i\right)=q_{ji}$, поэтому слагаемые $q_{ij}{x}_i{x}_j$ и $q_{ji}{x}_j{x}_i$ можно сложить как подобные слагаемые при $i\ne j$. Матрица квадратичной формы всегда симметрична.
Её общий вид:

\begin{pmatrix}
q_{11} & q_{12} & \ldots & q_{1n} \
q_{21} & q_{22} & \ldots & q_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
q_{n1} & q_{n2} & \ldots & q_{nn}
\end{pmatrix}

Пример

Пусть
$Q(x)=-x_1^2+4x_1{x}_2+3x_2^2-2x_2{x}_3+x_3^2.$
Поскольку матрица квадратичной формы симметрична, нам нужно обратно разделить неквадратичные слагаемые на две равные части, т.е., например, $4x_1{x}_2=2x_1{x}_2+2x_2{x}_1$. И далее симметрично расположить половинный коэффициент в матрице квадратичной формы:

$$Q_g=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 2& 3& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right).$$

Замечание 2

В ортонормированном базисе симметричная матрица есть и у квадратичной формы, и у соответствующего самосопряжённого оператора $A$, задаваемого правилом $B(Ax,y)$. Поэтому матрицы $A$ и $Q$ совпадают. Кроме того,
$Q(x{)}_f=x_f{Q}_f{x}_f^T.$

билинейнаяиквадратичнаяформы

Ссылка на оригинал

---

Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду

Канонический вид квадратичной формы

Def. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если она содержит только полные квадраты:

$$Q(x)={\lambda }_1{x}_1^2+{\lambda }_2{x}_2^2+\dots +{\lambda }_n{x}^n$$

(некоторые ${\lambda }_i$ могут быть равны 0)

билинейнаяиквадратичнаяформы

Ссылка на оригинал

---

Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду

Метод ортогональных преобразований

Этим методом удобно пользоваться, если легко вычисляются собственные числа и собственные векторы.

Любую квадратичную форму $Q(x)$ можно трактовать как симметричную билинейную форму $B(A(x),x)$ некоторого самосопряжённого оператора $A$ в стандартном ортонормированном базисе. В таком случае матрицы $Q$ и $A$ совпадают.
Если затем выбрать ортонормированный базис из собственных векторов $A$ (он существует для любого самосопряжённого оператора), то матрица $A$ становится диагональной, а квадратичная форма — суммой квадратов.

Матрица оператора при смене базиса меняется по правилу
$A_f=C_{f\to g}{A}_g{C}_{g\to f},$
а матрица квадратичной формы ― по правилу
$Q_f=C_{g\to f}^T{Q}_g{C}_{g\to f}.$
Для ортонормированных базисов матрица перехода $C_{g\to f}$ ортогональна, поэтому $C_{g\to f}^{-1}=C_{g\to f}^T$ и обе формулы совпадают; отсюда одновременная диагонализация формы и оператора. Поэтому, приведя матрицу оператора к диагональному виду, мы приводим одновременно квадратичную форму к сумме квадратов.

Метод Лагранжа

Это метод выделения полных квадратов.

---

Метод Якоби

Для использования метода рассмотрим сначала вспомогательную теорему

Теорема. Закон инерции

Теорема. Закон инерции

Теорема

Если квадратичная форма разными способами приведена к сумме квадратов, то число положительных и отрицательных коэффициентов, а следовательно, и нулевых коэффициентов будет одно и то же.

Доказательство

Пусть в базисе $e_1,e_2,\dots ,e_n$ Квадратичная форма имеет вид

$$Q(x)={\lambda }_1{x}_1^2+{\lambda }_2{x}_2^2+\dots +{\lambda }_p{x}_p^2-{\mu }_1{x}_{p+1}^2-\dots -{\mu }_q{x}_n^2,$$

а в базисе $e_1^{\prime },e_2^{\prime },\dots ,e_n^{\prime }$:

$$Q(y)={\lambda }_1^{\prime }{y}_1^2+{\lambda }_2^{\prime }{y}_2^2+\dots +{\lambda }_{p^{\prime }}^{\prime }{y}_{p^{\prime }}^2-{\mu }_1^{\prime }{y}_{p^{\prime }+1}^2-\dots -{\mu }_{q^{\prime }}^{\prime }{y}_n^2.$$

Здесь

$$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right),{\lambda }_i,{\mu }_i>0(i=1,\dots ,n).$$

Покажем, что $p=p^{\prime }$ (следовательно, $q=q^{\prime }$).
Предположим противное: $p\ne p^{\prime }$; без ограничения общности $p>p^{\prime }$.

Рассмотрим подпространства

$$L_1=⟨e_1,e_2,\dots ,e_p⟩,L_2=⟨e_{p^{\prime }+1}^{\prime },e_{p^{\prime }+2}^{\prime },\dots ,e_n^{\prime }⟩.$$

Тогда ^{1 2}

$$\dim L_1=p,\dim L_2=n-p^{\prime }⟹\dim L_1+\dim L_2=p+n-p^{\prime }>n,$$

поэтому найдётся ненулевой вектор $v\in L_1\cap L_2$.

Запишем $v$ в первом базисе:

$$v=v_1{e}_1+v_2{e}_2+\dots +v_p{e}_p,$$

откуда

$$Q(v{)}_e={\lambda }_1{v}_1^2+{\lambda }_2{v}_2^2+\dots +{\lambda }_p{v}_p^2>0$$

(так как $v\in L_1$).
С другой стороны, вектор $v$ лежит в $L_2$, поэтому во втором базисе

$$v=v_{p^{\prime }+1}{e}_{p^{\prime }+1}^{\prime }+v_{p^{\prime }+2}{e}_{p^{\prime }+2}^{\prime }+\dots +v_n{e}_n^{\prime },$$

и

$$Q(v{)}_{e^{\prime }}=-{\mu }_1^{\prime }{v}_{p^{\prime }+1}^2-{\mu }_2^{\prime }{v}_{p^{\prime }+2}^2-\dots -{\mu }_{q^{\prime }}^{\prime }{v}_n^2<0.$$

Получилось противоречие: одно и то же значение $Q(v)$ не может быть одновременно положительным и отрицательным. Следовательно, наше предположение неверно, то есть $p=p^{\prime }$ и, соответственно, $q=q^{\prime }$. Теорема доказана.

билинейнаяиквадратичнаяформы

Footnotes

1. $\dim L_1$ и $\dim L_2$ - Размерности подпространств ↩

2. Следствие верно по теореме о размерности суммы двух подпространств ↩

Ссылка на оригинал

---

Теорема. Метод Якоби

Теорема. Метод Якоби

Теорема

Пусть задана Квадратичная форма, и в некотором базисе $e_1,e_2,\dots ,e_n$ известна её матрица $Q(x)={\sum }_{i,j=1}^n{q}_{ij}{x}_i{x}_j$.
Напомним, что $Q(x)=B(x,x)$ для некоторой билинейной формы $B(x,y)$ и $q_{ij}=B(e_i,e_j)$.
Предположим, что все главные угловые миноры этой матрицы отличны от нуля. Тогда существует базис $f_1,f_2,\dots ,f_n$, в котором квадратичная форма имеет канонический вид

$${\lambda }_1{x}_1^2+{\lambda }_2{x}_2^2+\dots +{\lambda }_n{x}_n^2.$$

Доказательство

Матрица исходной формы:

$$\left(\begin{array}{cccc}{q}_{11}& q_{12}& \dots & q_{1n}\\ q_{21}& q_{22}& \dots & q_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ q_{n1}& q_{n2}& \dots & q_{nn}\end{array}\right).$$

Главные миноры:

$$\begin{array}{rl}{\Delta }_1& =q_{11}\ne 0,\\ {\Delta }_2& =\left|\begin{array}{cc}{q}_{11}& q_{12}\\ q_{21}& q_{22}\end{array}\right|\ne 0,\\ & ⋮\\ {\Delta }_k& =\left|\begin{array}{cccc}{q}_{11}& q_{12}& \dots & q_{1k}\\ q_{21}& q_{22}& \dots & q_{2k}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ q_{k1}& q_{k2}& \dots & q_{kk}\end{array}\right|\ne 0,k=1,\dots ,n.\end{array}$$

Ищем базис

$$\begin{array}{rl}& f_1={\alpha }_{11}{e}_1,\\ & f_2={\alpha }_{21}{e}_1+{\alpha }_{22}{e}_2,\\ & \dots \\ & f_n={\alpha }_{n1}{e}_1+\dots +{\alpha }_{nn}{e}_n,\end{array}$$

Потребуем, чтобы выполнялись условия, подобные условиям ортогональности:

1. $B(f_i,e_j)=0$ при $i>j$;
2. $B(f_i,e_i)=1$.

Шаг 1.
$B(f_1,e_1)={\alpha }_{11}B\left(e_1,e_1\right)={\alpha }_{11}{q}_{11}=1\Rightarrow {\alpha }_{11}=\frac{1}{q_{11}}=\frac{1}{{\Delta }_1},{\Delta }_1\ne 0$
Далее:

\begin{aligned}
B(f_2,e_1) &= \alpha_{21}q_{11}+\alpha_{22}q_{21} = 0,\
B(f_2,e_2) &= \alpha_{21}q_{21}+\alpha_{22}q_{22} = 1.
\end{aligned}

**Шаг 2.** Два последних равенства задают [[Неоднородная система линейных уравнений|систему уравнений]] с [[Определитель|определителем]] матрицы коэффициентов $\Delta_{2} \neq 0$.

\begin{cases}
\alpha_{21}q_{11}+\alpha_{22}q_{21}=0,\
\alpha_{21}q_{21}+\alpha_{22}q_{22}=1.
\end{cases}

$$По[[ТеоремаКрамера|теоремеКрамера]]$$

\alpha_{22}=
\dfrac{\begin{vmatrix}q_{11}&0\q_{21}&1\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}q_{11}&q_{21}\q_{21}&q_{22}\end{vmatrix}}
=\dfrac{\Delta_1}{\Delta_2}.

**Шаг 3.** Аналогично, из условий $B(f_3,e_1)=B(f_3,e_2)=0,\;B(f_3,e_3)=1$:

\alpha_{33}=
\dfrac{\begin{vmatrix}
q_{11}&q_{12}&0\
q_{21}&q_{22}&0\
q_{31}&q_{32}&1
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}
q_{11}&q_{12}&q_{13}\
q_{21}&q_{22}&q_{23}\
q_{31}&q_{32}&q_{33}
\end{vmatrix}}
=\dfrac{\Delta_2}{\Delta_3}.

$$\ast \ast Общийшаг.\ast \ast$$

\alpha_{ii}=
\dfrac{
\begin{vmatrix}
q_{11}&\ldots&q_{1,i-1}&0\
\vdots & &\vdots &\vdots\
q_{i-1,1}&\ldots&q_{i-1,i-1}&0\
q_{i1}&\ldots&q_{i,i-1}&1
\end{vmatrix}}
{\Delta_i}
=\dfrac{\Delta_{i-1}}{\Delta_i},\qquad
i=1,\ldots,n.

Из условий $B(f_i,e_j)=0$ при $i>j$ следует, что базисные векторы $f_i$ [[Ортогональные векторы|ортогональны]]

\begin{aligned}
B(f_i,f_j)
&=B!\Bigl(f_i,;\alpha_{j1}e_1+\alpha_{j2}e_2+\ldots+\alpha_{jj}e_j\Bigr)\
&=\alpha_{j1},B(f_i,e_1)+\alpha_{j2},B(f_i,e_2)+\ldots+\alpha_{jj},B(f_i,e_j)\
&=0+0+\ldots+0=0,\qquad i>j.
\end{aligned}

По симметрии [[Симметричная билинейная форма|билинейной формы]] $B(x,y)$ имеем $B(f_i,f_j)=0$ и при $i<j$. Для диагонального элемента вычислим

\begin{aligned}
B(f_i,f_i)
&=B!\Bigl(f_i,;\alpha_{i1}e_1+\alpha_{i2}e_2+\ldots+\alpha_{ii}e_i\Bigr)\
&=\alpha_{i1},B(f_i,e_1)+\alpha_{i2},B(f_i,e_2)+\ldots+\alpha_{ii},B(f_i,e_i).
\end{aligned}

Из условий $(B(f_i,e_j)=0)$ при $(j<i)$ все первые $(i-1)$ слагаемых равны нулю, остаётся лишь

B(f_i,f_i)=B\left(f_{i}, \alpha_{i 1} e_{1}+\alpha_{i 2} e_{2}+\ldots+\alpha_{i i} e_{i}\right)=\alpha_{ii},B(f_i,e_i)= \alpha_{ii}\cdot1=\alpha_{ii}.

Поэтому [[Матрица билинейной формы|матрица формы]] в базисе $f_1,\ldots,f_n$ равна

\begin{pmatrix}
\alpha_{11}&0&\ldots&0\
0&\alpha_{22}&\ldots&0\
\vdots& &\ddots&\vdots\
0&0&\ldots&\alpha_{nn}
\end{pmatrix},\qquad
\alpha_{ii}=\frac{\Delta_{i-1}}{\Delta_i},;\Delta_0:=1.

$$Следовательно,$$

Q(x’)=\alpha_{11}x_{1}’^{2}+\alpha_{22}x_{2}’^{2}+\ldots+\alpha_{nn}x_{n}’^{2}.

$$Теоремадоказана.$$

Следствие

Число отрицательных коэффициентов при квадратах в каноническом виде квадратичной формы равно числу перемен знака в последовательности угловых миноров ${\Delta }_1,{\Delta }_2,\dots ,{\Delta }_n$.

Пример

Пусть

$$Q(x)=x_1^2+4x_1{x}_2-2x_2^2,$$

матрица в стандартном базисе

$$Q=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -2\end{array}\right).$$

Главные миноры:

$${\Delta }_0=1,{\Delta }_1=q_{11}=1,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -2\end{array}\right|=-6.$$

Следовательно,

$$q_{11}^{\prime }=\frac{{\Delta }_0}{{\Delta }_1}=1,q_{22}^{\prime }=\frac{{\Delta }_1}{{\Delta }_2}=-\frac{1}{6}.$$

Таким образом,

$$Q(x^{\prime })=x_1^{\prime 2}-\frac{1}{6}{x}_2^{\prime 2}.$$

Чтобы найти связь между базисными векторами, решаем:

1. Для $f_1={\alpha }_{11}{e}_1$ условие

   $$B(f_1,e_1)={\alpha }_{11}B(e_1,e_1)={\alpha }_{11}{q}_{11}={\alpha }_{11}\cdot 1=1⟹{\alpha }_{11}=1,$$

   значит $f_1=e_1$.

2. Для $f_2={\alpha }_{21}{e}_1+{\alpha }_{22}{e}_2$ условия

   $$\{\begin{array}{l}B(f_2,e_1)={\alpha }_{21}{q}_{11}+{\alpha }_{22}{q}_{21}=0,\\ B(f_2,e_2)={\alpha }_{21}{q}_{12}+{\alpha }_{22}{q}_{22}=1,\end{array}$$

   где $q_{11}=1,q_{12}=q_{21}=2,q_{22}=-2$.
   Получаем систему

   $$\{\begin{array}{l}{\alpha }_{21}+2{\alpha }_{22}=0,\\ 2{\alpha }_{21}-2{\alpha }_{22}=1.\end{array}$$

   Решая:

   $${\alpha }_{22}=-\frac{1}{6},{\alpha }_{21}=\frac{1}{3},$$

   значит

   $$f_2=\frac{1}{3}{e}_1-\frac{1}{6}{e}_2.$$

3. Новые базисные векторы:

   $$f_1=e_1,f_2=\frac{1}{3}{e}_1-\frac{1}{6}{e}_2.$$

4. Проверка диагональной формы:
   Матрица перехода

   $$C_{e\to f}=\left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{3}\\ 0& -\frac{1}{6}\end{array}\right).$$

   Тогда

   $$C_{e\to f}^{\mathsf{T}}Q{C}_{e\to f}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{1}{3}& -\frac{1}{6}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{3}\\ 0& -\frac{1}{6}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -\frac{1}{6}\end{array}\right).$$

   Это и есть диагональная матрица новой формы с элементами $1$ и $-\frac{1}{6}$.

билинейнаяиквадратичнаяформы

Ссылка на оригинал

билинейнаяиквадратичнаяформы

Ссылка на оригинал

---

Положительная определённость квадратичной формы

Положительно определённая квадратичная форма

Def. Квадратичная форма $Q(x)$ называется положительно определённой, если для любого $x\in L\backslash \{\theta \}$ имеет место:

$$Q(x)=\sum _{i,j=1}^n{q}_{ij}{x}_i{x}_j>0$$

Пример

Вспомним скалярное произведение, для которого выполнено свойство симметричности (т.е. билинейная форма симметрична) и свойство положительной определённости (одноимённое свойство квадратичной формы). Получается, что скалярное произведение есть билинейная форма, соответствующая положительно определенной квадратичной форме, и любая такая форма может быть принята за скалярное произведение.

билинейнаяиквадратичнаяформы

Ссылка на оригинал

---

Теорема 4. Критерий Сильвестра

Теорема. Критерий Сильвестра

Теорема

Для симметричной квадратичной формы

$$Q(x)=\sum _{i,j=1}^n{q}_{ij}{x}_i{x}_j$$

положительная определённость эквивалентна строгости всех её угловых миноров:

$${\Delta }_k>0,k=1,\dots ,n,$$

где

$${\Delta }_k=\left|\begin{array}{cccc}{q}_{11}& q_{12}& \dots & q_{1k}\\ q_{21}& q_{22}& \dots & q_{2k}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ q_{k1}& q_{k2}& \dots & q_{kk}\end{array}\right|,{\Delta }_0:=1.$$

Доказательство

1. Достаточность.
Предположим, что ${\Delta }_k>0$ для всех $k$.
Применяя метод Якоби, строим последовательность векторов

$$f_1={\alpha }_{11}{e}_1,f_2={\alpha }_{21}{e}_1+{\alpha }_{22}{e}_2,\dots ,f_n={\alpha }_{n1}{e}_1+\dots +{\alpha }_{nn}{e}_n,$$

удовлетворяющих $B(f_i,e_j)=0(i>j),B(f_i,e_i)=1$

Как показано ранее, тогда

$${\alpha }_{ii}=B(f_i,f_i)=\frac{{\Delta }_{i-1}}{{\Delta }_i}>0,i=1,\dots ,n.$$

В базисе $\{f_i\}$ матрица формы диагональна:

$$Q_f=\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_{11}& 0& \dots & 0\\ 0& {\alpha }_{22}& \dots & 0\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & {\alpha }_{nn}\end{array}\right)$$

причём все диагональные элементы положительны, следовательно $Q$ положительно определена.
2. Необходимость.
Пусть форма $Q$ положительно определена. Тогда в некотором ортогональном базисе она имеет канонический вид

$$Q_u(x)={\lambda }_1{x}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{x}_n^2,{\lambda }_i>0.$$

Пусть $C$ — матрица перехода от исходного базиса к этому. Тогда

$$Q=C^{\mathsf{T}}{Q}_{u}C,\det Q=(\det C{)}^2\det Q_u>0.$$

Отсюда ${\Delta }_n=\det Q>0$.
Рассмотрим для любого $k<n$ ограниченную форму

$$Q_k(x_1,\dots ,x_k)=Q(x_1,\dots ,x_k,0,\dots ,0).$$

Поскольку $Q$ положительно определена, то $Q_k$ также положительно определена (достаточно подставить в исходную форму вектор с последними $n-k$ нулевыми координатами).
Следовательно, её матрица — левый верхний $k\times k$ блок исходной матрицы — имеет положительный Определитель:

$$\det (q_{ij}{)}_{i,j=1}^k={\Delta }_k>0.$$

Это верно для всех $k=1,\dots ,n$, что и доказывает необходимость.
Итого. Положительная определённость формы $⟺$ положительность всех угловых миноров ${\Delta }_k$.

билинейнаяиквадратичнаяформы

Ссылка на оригинал

---

По итогам лекции нужно знать

1. Понятия:
   • Билинейная форма
   • Квадратичная форма
   • Канонический вид квадратичной формы
   • Закон инерции
   • Положительно и отрицательно определённые квадратичные формы
2. Матрица билинейной формы
3. Матрица квадратичной формы
4. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду
5. Критерий Сильвестра
6. Основные теоретические факты с доказательствами

билинейнаяиквадратичнаяформы